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==特征函数与特征值==

==特征函数与特征值==

一个对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>满足：

 

对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>定义如下：

{{NumBlk|:|

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其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

</math>

</math>

<math>

<math>

</math>

</math>

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。

 

 

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>

<math> \mathcal{K} \left(\varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x})\right) = \varphi_1(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\varphi_2(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \lambda_1\lambda_2 \varphi_1(\mathbf{x}) \varphi_2(\mathbf{x}). </math>

[[代数]]上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman[[特征函数]]的[[集合]]在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的[[动力系统]]，可能存在有限组[[生成元]][[特征函数]]元素，可以用来构建所有其他[[特征函数]]<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

[[代数]]上，当观测空间在乘法下封闭时，Koopman[[特征函数]]的[[集合]]在逐点乘法下形成一个[[交换幺半群]]。这样一来，根据具体的[[动力系统]]，可能存在有限组[[生成元]][[特征函数]]元素，可以用来构建所有其他[[特征函数]]<ref name=Bollt_2021>E. Bollt, Geometric considerations of a good dictionary for Koopman analysis of dynamical systems: Cardinality, ``primary eigenfunction,"" and efficient representation, Comm.

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>

<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

 

 

我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''，由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的[[数学]]对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''，由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==