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===傅立叶平均===

===傅立叶平均===

假设一个观测量的演化<math>g(\mathbf{x}(t)) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x}))</math>已知，则可以通过以下长期谐波或傅里叶平均来计算与[[特征值]]<math>e^{i\omega}</math>对应的[[特征函数]]<ref name="brunton_2022" />：

'''定义：'''假设一个观测量的演化<math>g(\mathbf{x}(t)) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x}))</math>已知，则可以通过以下长期谐波或傅里叶平均来计算与[[特征值]]<math>e^{i\omega}</math>对应的[[特征函数]]<ref name="brunton_2022" />：

<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>

<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) := \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g\left(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})\right) e^{-i\omega t} \,dt. </math>

可以根据特征函数的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是特征函数，<math>e^{i\omega}</math>是特征值。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是特征值为1所对应的特征函数。证明如下：

'''证明：'''可以根据[[特征函数]]的定义{{EquationNote|1}}证明<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>是[[特征函数]]，<math>e^{i\omega}</math>是[[特征值]]。特别地，当<math> \omega=0</math>时，<math> \tilde{g}_0(\mathbf{x})</math>是[[特征值]]为1所对应的[[特征函数]]。证明如下：

由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：

由于 <math> (\mathcal{K}^t g)(\mathbf{x}) = g(\mathbf{F}^t(\mathbf{x})) </math>，我们有：

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

<math> \begin{aligned} \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega (\tau - s)} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_s^{T+s} g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T g(\mathbf{F}^\tau(\mathbf{x})) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) \\ \end{aligned} </math>

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是特征值为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman特征函数。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个特征值和特征函数，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些特征函数不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的特征值。

其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。

在一般的动力系统中，Koopman算子的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。在傅立叶平均里，离散谱意味着有限的几个特征函数不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而连续谱意味着在极限下特征函数几乎处处为0，此时往往对应的是混沌的性质，能量比较弥散不集中。

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。在傅立叶平均里，离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在极限下[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。

====应用案例：标准映射====

====应用案例：[[标准映射]]====

[[标准映射]]（Standard Map），又称Chirikov标准映射，是动力系统理论和混沌研究中最经典、最基础的二维离散映射之一。它通过一组简单的迭代方程：

[[标准映射]]（Standard Map），又称Chirikov[[标准映射]]，是[[动力系统理论]]和[[混沌]]研究中最经典、最基础的二维离散映射之一。它通过一组简单的[[迭代]]方程：

<math> \begin{cases} y_{n+1} = [y_n + \epsilon \sin(2\pi x_n)] \;\mathrm{mod}\; 1 \\\\ x_{n+1} = [x_n + y_{n+1}] \;\mathrm{mod}\; 1 \end{cases} </math>

<math> \begin{cases} y_{n+1} = [y_n + \epsilon \sin(2\pi x_n)] \;\mathrm{mod}\; 1 \\\\ x_{n+1} = [x_n + y_{n+1}] \;\mathrm{mod}\; 1 \end{cases} </math>

它描述了非线性扰动下保面积[[哈密顿系统]]的相空间动力学。标准映射体现了系统从有序到混沌的逐渐演化，广泛用于研究混沌现象、KAM理论和分形结构，是理解非线性动力学的重要模型。现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的特征值为1的特征函数在相空间上的分布，如下图所示：

它描述了[[非线性]]扰动下保面积[[哈密顿系统]]的[[相空间]][[动力学]]。[[标准映射]]体现了系统从有序到[[混沌]]的逐渐演化，广泛用于研究[[混沌现象]]、KAM理论和[[分形结构]]，是理解[[非线性动力学]]的重要模型。现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]在[[相空间]]上的分布，如下图所示：

[[文件:Standardmap.png|301x301像素|替代=]]

[[文件:Standardmap.png|301x301像素|替代=]]

===数据回归===

===数据回归===