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→傅立叶平均
其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。
其中第三步利用了移位后积分上下限对趋于无穷的平均值无影响。因此：<math> \tilde{g}_\omega (\mathbf{F}^s(\mathbf{x})) = e^{i\omega s} \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}), </math>即 <math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x}) </math> 是[[特征值]]为 <math> e^{i\omega s} </math> 的Koopman[[特征函数]]。这样看来，似乎随便取一个<math> \omega</math>，就可以得到一个[[特征值]]和[[特征函数]]，它们都是有意义的吗？实际上，很多<math> \omega</math>会使得<math> \tilde{g}_\omega(\mathbf{x})</math>恒等于0，这就没有意义了，所以我们要关注的是那些[[特征函数]]不恒等于0的<math> \omega</math>及其对应的[[特征值]]。
====应用案例：[[标准映射]]====
====应用案例：[[标准映射]]====