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一维[[动力学]]典型的研究对象是一阶自治[[微分方程]]<math>\dot{x}=f(x)</math>，及其解的长期行为。在一维情况下，'''相图（phase line）'''可由函数 <math>f(x)</math> 在实轴上的符号结构与方向场来刻画，横坐标为 <math>x</math>，纵坐标为 <math>\dot{x}</math>。鉴于此，我们可以将系统视为在一条直线（[[相空间]]）上流动的流体，函数定义了该流体的速度场（[[向量场]]）。通过该速度场我们可以立即看出系统的稳定和不稳定的[[不动点]]，并立即判定处在任意位置为[[初始状态]]的解的行为。此外，线性稳定性分析和系统的[[势函数]]也可以用来分析系统的[[不动点]]，要得到并计算系统的演化轨道，可以使用不同类型的数值积分方法求解系统的演化[[微分方程]]。该系统虽然简单，但其连续或离散的形式在各领域中均有广泛应用，如[[企业增长模型]]、[[Logistic 映射]]、[[RC 电路]]等等。

一维[[动力学]]典型的研究对象是一阶自治[[微分方程]]<math>\dot{x}=f(x)</math>，及其解的长期行为。在一维情况下，'''相图（phase line）'''可由函数 <math>f(x)</math> 在实轴上的符号结构与方向场来刻画，横坐标为 <math>x</math>，纵坐标为直线上 <math>x</math> 处相点的速度，即<math>\dot{x}</math>。鉴于此，我们可以将系统视为在一条直线（[[相空间]]）上流动的流体，函数定义了该流体的速度场（[[向量场]]）。通过该速度场我们可以立即看出系统的稳定和不稳定的[[不动点]]，并立即判定处在任意位置为[[初始状态]]的解的行为。此外，线性稳定性分析和系统的[[势函数]]也可以用来分析系统的[[不动点]]，要得到并计算系统的演化轨道，可以使用不同类型的数值积分方法求解系统的演化[[微分方程]]。该系统虽然简单，但其连续或离散的形式在各领域中均有广泛应用，如[[企业增长模型]]、[[Logistic 映射]]、[[RC 电路]]等等。

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如上方系统的相图所示

一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间<math>t</math>的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到[[不动点]]，要么发散到无穷。如上方系统的相图所示

* 如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终呆在原位;

* 如果相点初始位于左侧稳定[[不动点]]附近，它将收敛到稳定[[不动点]]；如果相点初始时恰好位于两个[[不动点]]处，则它将始终保持在原位;

* 如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。

* 如果相点初始位于不稳定[[不动点]]的右侧，可知相点的速度始终向右，且逐渐增加，因此它最终将发散至（正）无穷大。

|{{EquationRef|5}}}}

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该映射在参数变化下可呈现从稳定定点到[[周期轨道]]、再到倍周期[[分岔]]与[[混沌]]的丰富[[动力学]]行为，因此常被作为一维离散[[动力系统]]与[[混沌理论]]的经典示例<ref name="Edelstein2005">Edelstein-Keshet, L. (2005). ''Mathematical Models in Biology''. SIAM.</ref>。

该映射在参数变化下可呈现从稳定定点到[[周期轨道]]、再到倍周期[[分岔]]与[[混沌]]等丰富[[动力学]]行为，因此常被作为一维离散[[动力系统]]与[[混沌理论]]的经典示例<ref name="Edelstein2005">Edelstein-Keshet, L. (2005). ''Mathematical Models in Biology''. SIAM.</ref>。

逻辑斯谛模型及其变体广泛用于生态学中的种群增长描述，也常作为更复杂模型（例如加入时间延迟、空间扩散或[[随机]]扰动）的基准框架；此外，其 S 型增长形态也被借用到[[社会科学]]中的技术扩散与增长过程刻画中，并在形式上与[[统计学]]中的[[逻辑斯谛回归]]等方法产生联系<ref name="Murray2002" />。

逻辑斯谛模型及其变体广泛用于生态学中的种群增长描述，也常作为更复杂模型（例如加入时间延迟、空间扩散或[[随机]]扰动）的基准框架；此外，其 S 型增长形态也被借用到[[社会科学]]中的技术扩散与增长过程刻画中，并在形式上与[[统计学]]中的[[逻辑斯谛回归]]等方法产生联系<ref name="Murray2002" />。

考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。则电容器上的电容量 <math>Q</math> 遵循下面的微分方程

考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。则电容器上的电荷量 <math>Q</math> 遵循下面的微分方程

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|{{EquationRef|6}}}}

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[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]

[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]

===推导过程===

===推导过程===

|{{EquationRef|8}}}}

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当 <math>V_{\text{in}}</math> 为恒定电压 <math>V_{0}</math> 时，考虑电容 <math>C</math> 上的充电量 <math>Q</math>。有

当 <math>V_{\text{in}}</math> 为恒定电压 <math>V_{0}</math> 时，考虑电容 <math>C</math> 上的电荷量 <math>Q</math>。有

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|{{EquationRef|9}}}}

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将式{{EquationNote|(9)}} 中的 <math>\dot{Q}</math> 整理至等式左边，就得到了

将公式{{EquationNote|(9)}} 中的 <math>\dot{Q}</math> 整理至等号左边，就得到了

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|{{EquationRef|10}}}}

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如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即

如果要求初始时刻电容器上电荷量为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即

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|{{EquationRef|11}}}}

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相应地，也能得到电容器的稳态电量<math>Q(\infty) = V_0 C</math>，因此其[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}</math>，输出电压随时间变化规律为

相应地，也能得到电容器的稳态电荷量<math>Q(\infty) = V_0 C</math>，因此其[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}</math>，输出电压随时间变化规律为

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V_{C}(t) = \frac{Q}{C} = V_{0}(1 - e^{-t/RC}),

V_{C}(t) = \frac{Q}{C} = V_{0}(1 - e^{-t/RC}),

===相图视角===

===相图视角===

公式{{EquationNote|(6)}}对应着如下图所示的RC串联电路系统相图，可见相图中为一截距为正，斜率为负的直线，有一个'''全局[[稳定不动点]]''' <math>Q^* = V_{0}C</math>。另外，从该函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电量为零时，依该函数，其电量会一直增长，无限趋于[[稳定不动点]]。

公式{{EquationNote|(6)}}对应着如下图所示的RC串联电路系统相图，可见相图中为一截距为正，斜率为负的直线，有一个'''全局[[稳定不动点]]''' <math>Q^* = V_{0}C</math>。另外，从该函数也可明显的看出上面的结论：当电容初始电荷量为零时，依该函数，其电荷量会一直增长，无限趋于[[稳定不动点]]。

[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|none|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电量<math>Q</math>，纵轴为电容器电量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q^*=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]

[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|none|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电荷量<math>Q</math>，纵轴为电容器电荷量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q^*=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]

==企业生长模型==

==企业生长模型==

'''企业生长模型'''是[[陶如意]]、[[张江]]、[[Geoffray West]]等人提出的、基于企业[[规模标度律]]和企业财务平衡方程构建的企业资产变化的[[微分方程]]，刻画企业的平均生长[[动力学]]

'''企业生长模型'''是[[陶如意]]、[[张江]]、[[Geoffrey West]]等人提出的、基于企业[[规模标度律]]和企业财务平衡方程构建的企业资产变化的[[微分方程]]，刻画企业的平均生长[[动力学]]

=== 数学形式 ===

=== 数学形式 ===

=== 解的形式 ===

=== 解的形式 ===

对式{{EquationNote|(12)}}直接积分，难以给出资产随时间的显式解析表达式，但可以给出企业资产生长轨迹的隐式解

对公式{{EquationNote|(12)}}直接积分，难以给出资产随时间的显式解析表达式，但可以给出企业资产生长轨迹的隐式解

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|{{EquationRef|13}}}}

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式{{EquationNote|(13)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。

公式{{EquationNote|(13)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。

[[文件:企业生长曲线.png|600px|none|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果。纵坐标是企业的资产，横坐标是根据通用生长方程经过对齐后的企业的有效年龄（Effective Age），可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]

[[文件:企业生长曲线.png|600px|none|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果。纵坐标是企业的资产，横坐标是根据通用生长方程经过对齐后的企业的有效年龄（Effective Age），可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]