鞍结点分岔

鞍结点分岔（Saddle-Node Bifurcation），又称折叠分岔（Fold Bifurcation）、切线分岔（Tangent Bifurcation）或蓝天分岔（Blue Sky Bifurcation），是非线性系统中最常见的不稳定性机制之一。在更复杂的动力系统中，鞍结点分岔也常作为局部分岔（Local Bifurcation）出现。

标准型和性质

鞍结点分岔的标准型如下

[math]\displaystyle{ \dot{x} = r \pm x^2, }[/math]

(1)

其关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的稳定状态不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个不动点（一个稳定，一个不稳定）。

相图与分岔图

对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r + x^2, }[/math] 的分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态。

对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2, }[/math]的分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态。

推广形式

[math]\displaystyle{ \dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2 }[/math]

(1)