鞍结点分岔

鞍结点分岔（Saddle-Node Bifurcation），又称折叠分岔（Fold Bifurcation）、切线分岔（Tangent Bifurcation）或蓝天分岔（Blue Sky Bifurcation），是非线性系统中最常见的不稳定性机制之一。鞍结点分岔常作为一种局部分岔（Local Bifurcation）出现。

标准型和性质

对于一维动力系统，鞍结点分岔的最简微分方程形式（标准型）如下

[math]\displaystyle{ \dot{x} = r \pm x^2 }[/math]

(1)

其中[math]\displaystyle{ x }[/math]是状态变量，[math]\displaystyle{ r }[/math]为分岔参数。对于标准型，[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ r }[/math]的取值范围为[math]\displaystyle{ R }[/math]。

对于更复杂的系统，如[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 - e^x }[/math]，[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ r }[/math]的取值范围为应为不动点[math]\displaystyle{ x* }[/math]与[math]\displaystyle{ r_c }[/math]的邻域。

其关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的稳定状态不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个不动点（一个稳定，一个不稳定）。

不动点和稳定性分析

以[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 }[/math] 为例

不动点判断

令[math]\displaystyle{ f(x)=r-x^2 }[/math]，令[math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math]，有不动点[math]\displaystyle{ x^*=\pm \sqrt{r} }[/math]，此时[math]\displaystyle{ r }[/math]的范围在[math]\displaystyle{ \left [ 0,+ \infty \right ) }[/math]有实际意义。当[math]\displaystyle{ r\lt 0 }[/math]时，没有不动点；当[math]\displaystyle{ r=0 }[/math]时，有一个不动点；当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，有两个不动点。

不动点稳定性分析

[math]\displaystyle{ f'(x^*)=-2x^* }[/math]。当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，[math]\displaystyle{ x^*=\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\lt 0 }[/math]，是稳定不动点；[math]\displaystyle{ x^*=-\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\gt 0 }[/math]，是不稳定不动点。[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]为分岔点，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=0 }[/math]

相图与分岔图

对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r + x^2 }[/math] 的分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态。

对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 }[/math]的分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态。

推广形式

[math]\displaystyle{ \dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2 }[/math]

(1)

可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。

推导过程

将[math]\displaystyle{ f }[/math]视为关于[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ r }[/math]的函数[math]\displaystyle{ f(x,r) }[/math]，对[math]\displaystyle{ x }[/math]，[math]\displaystyle{ r }[/math]在[math]\displaystyle{ x^* }[/math]与[math]\displaystyle{ r_c }[/math]处分别进行泰勒展开得到（其中[math]\displaystyle{ r_c }[/math]是一个稳定不动点时的[math]\displaystyle{ r }[/math]值）

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x,r) =f\left(x^{*}, r_{c}\right)+\left.\left(x-x^{*}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x^{*} ; r_{c}\right)}+\left.\left(r-r_{c}\right) \frac{\partial f}{\partial r}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}+\left.\frac{1}{2}\left(x-x^{*}\right)^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}+\cdots }[/math]

(1)