鞍结点分岔

鞍结点分岔（Saddle-Node Bifurcation），又称折叠分岔（Fold Bifurcation）、切线分岔（Tangent Bifurcation）或蓝天分岔（Blue Sky Bifurcation），是非线性系统中最常见的不稳定性机制之一。鞍结点分岔常作为一种局部分岔（Local Bifurcation）出现。

标准型和性质

对于一维动力系统，鞍结点分岔的最简微分方程形式（标准型）如下

[math]\displaystyle{ \dot{x} = r \pm x^2 }[/math]

(1)

• 其中[math]\displaystyle{ x }[/math]是状态变量，[math]\displaystyle{ r }[/math]为分岔参数。从数学上看，[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ r }[/math]的取值范围为[math]\displaystyle{ R }[/math]。

• 对于实际研究中的更复杂的系统，如[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 - e^x }[/math]，[math]\displaystyle{ x }[/math]的取值范围为应为不动点([math]\displaystyle{ x=x^* }[/math])的邻域，即[math]\displaystyle{ -\varepsilon \lt x\lt \varepsilon }[/math]，[math]\displaystyle{ r }[/math]的取值范围应为临界点[math]\displaystyle{ r=r_c }[/math]的邻域，即[math]\displaystyle{ -\delta \lt r\lt \delta }[/math]，否则无法忽略高阶项。

鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的稳定状态不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个不动点（一个稳定，一个不稳定）。

不动点和稳定性分析

以[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 }[/math] 为例

不动点判断

令[math]\displaystyle{ f(x)=r-x^2 }[/math]，令[math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math]，有不动点[math]\displaystyle{ x^*=\pm \sqrt{r} }[/math]，此时[math]\displaystyle{ r }[/math]的范围在[math]\displaystyle{ \left [ 0,+ \infty \right ) }[/math]有实际意义。当[math]\displaystyle{ r\lt 0 }[/math]时，没有不动点；当[math]\displaystyle{ r=0 }[/math]时，有一个不动点；当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，有两个不动点。

不动点稳定性分析

[math]\displaystyle{ f'(x^*)=-2x^* }[/math]。当[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]时，[math]\displaystyle{ x^*=\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\lt 0 }[/math]，是稳定不动点；[math]\displaystyle{ x^*=-\sqrt{r} }[/math]，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)\gt 0 }[/math]，是不稳定不动点。[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]为分岔点，有[math]\displaystyle{ f'(x^*)=0 }[/math]

相图与分岔图

• 对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r + x^2 }[/math]

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态，横坐标为[math]\displaystyle{ x }[/math]，纵坐标为[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]。实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

• 对于[math]\displaystyle{ \dot{x} = r - x^2 }[/math]

相图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的鞍结点分岔的三种不同状态，横坐标为[math]\displaystyle{ x }[/math]，纵坐标为[math]\displaystyle{ \dot{x} }[/math]。实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

分岔图如下，展示了系统参数[math]\displaystyle{ r }[/math]在不同取值下的不动点的分布情况。

推广形式

[math]\displaystyle{ \dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2 }[/math]

(1)

可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。

推导过程

将[math]\displaystyle{ f }[/math]视为关于[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ r }[/math]的函数[math]\displaystyle{ f(x,r) }[/math]，对[math]\displaystyle{ x }[/math]，[math]\displaystyle{ r }[/math]在[math]\displaystyle{ x^* }[/math]与[math]\displaystyle{ r_c }[/math]处分别进行泰勒展开得到（其中[math]\displaystyle{ r_c }[/math]是临界状态时的[math]\displaystyle{ r }[/math]值）

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x,r) =f\left(x^{*}, r_{c}\right)+\left.\left(x-x^{*}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x^{*} ; r_{c}\right)}+\left.\left(r-r_{c}\right) \frac{\partial f}{\partial r}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}+\left.\frac{1}{2}\left(x-x^{*}\right)^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}+\cdots }[/math]

(1)

其中[math]\displaystyle{ f\left(x^{*}, r_{c}\right)=0 }[/math]，且因为[math]\displaystyle{ x^* }[/math]是不动点，且由相切情况可得[math]\displaystyle{ \left. \frac {\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x^{*} ; r_{c}\right)}=0 }[/math]，再将[math]\displaystyle{ \left. \frac {\partial f}{\partial r}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)} }[/math]视为常数[math]\displaystyle{ a }[/math]，将[math]\displaystyle{ \left. \frac {1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)} }[/math]视为常数[math]\displaystyle{ b }[/math]。忽略后面的高阶项，即可得到[math]\displaystyle{ \dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2 }[/math]

案例：云杉蚜虫爆发模型

背景：云杉蚜虫是一种会吃森林树叶的虫子，同时也会被鸟类等动物捕食。

模型方程： [math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - P(N) }[/math]

• [math]\displaystyle{ rN(1 - N/K) }[/math] 是虫子的逻辑斯蒂增长（Logistic Growth）。
• [math]\displaystyle{ P(N) }[/math] 是捕食率曲线，通常呈 S 形，例如 [math]\displaystyle{ P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2} }[/math]。

以[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2} }[/math]为例,

提出N得到[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = N \cdot \left[ r(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN}{A^2 + N^2} \right] }[/math]

生态学背景下，一般假设[math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math]。此时[math]\displaystyle{ N=0 }[/math]通常为不稳定不动点，因此分析实际问题时一般关注[math]\displaystyle{ N\gt 0 }[/math]的不动点的情况，即

[math]\displaystyle{ r(1 - \frac{N}{K}) = \frac{BN}{A^2 + N^2} }[/math]

对该方程可转化为求解两条曲线的交点问题。

• 左侧[math]\displaystyle{ y_1(N) = r(1 - \frac{N}{K}) }[/math]是一条穿过[math]\displaystyle{ (0, r) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (K, 0) }[/math] 的直线，斜率为负。
• 右侧[math]\displaystyle{ y_2(N) = \frac{BN}{A^2 + N^2} }[/math]从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，与参数[math]\displaystyle{ r }[/math]、[math]\displaystyle{ K }[/math]均无关。

将环境承载力K视为主要控制参数 当[math]\displaystyle{ K }[/math]很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定不动点。 令[math]\displaystyle{ K }[/math]逐渐增大到某个临界值[math]\displaystyle{ K_1 }[/math]时，[math]\displaystyle{ y_1(N) }[/math]与[math]\displaystyle{ y_2(N) }[/math]的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。 继续增大[math]\displaystyle{ K }[/math]，[math]\displaystyle{ y_1(N) }[/math]与[math]\displaystyle{ y_2(N) }[/math]的下降段出现了两个不动点（一个不稳定，一个稳定）。

此时这块下降段区域的变化就是鞍结点分岔。

相图如下