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===残差DMD===

===残差DMD===

残差动态[[模式分解]]（ResDMD<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过清晰地呈现特征值偏离真实系统的残差，有效区分真实[[特征值]]与虚假的特征值，解决了一般算法下因有限维假设和离散化误差导致的谱污染问题，详情请查阅[[残差DMD]]。

残差动态[[模式分解]]（ResDMD）<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过清晰地呈现特征值偏离真实系统的残差，有效区分真实[[特征值]]与虚假的特征值，解决了一般算法下因有限维假设和离散化误差导致的谱污染问题，详情请查阅[[残差DMD]]。

'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024 />的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此算出所有Koopman候选特征对：<math>\lambda, \varphi</math>。<math>\varphi</math>便是特征值<math>\lambda</math>对应的特征函数。这里的候选特征值已经是在算法估计上保证偏离真实特征值的残差最小的特征值了。

'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024 />的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此算出所有Koopman候选特征对：<math>\lambda, \varphi</math>。<math>\varphi</math>便是特征值<math>\lambda</math>对应的特征函数。这里的候选特征值已经是在算法估计上保证偏离真实特征值的残差最小的特征值了。

'''输入：'''系统变量的M个初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻的M个状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重构成的权重对角矩阵<math>W</math>、字典函数<math>\Psi</math>（实践中，可直接用作观测函数）、由字典函数和两个时刻的状态构成的数据矩阵<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻的状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、M为样本点数量、每个点对应的权重构成的权重对角矩阵<math>W</math>、字典函数<math>\Psi</math>（实践中，可直接用作观测函数）、由字典函数和两个时刻的状态构成的数据矩阵<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>。