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鞍结点分岔（Saddle-Node Bifurcation），又称折叠分岔（Fold Bifurcation）、切线分岔（Tangent Bifurcation）或蓝天分岔（Blue Sky Bifurcation），是[[非线性系统]]中最常见的不稳定性机制之一。鞍结点分岔常作为一种局部分岔（Local Bifurcation）出现。
=标准型和性质=
=标准型和性质=
在数学上，我们可以通过标准型来研究[[分岔]]的本质特征。对于一维动力系统（参考[[一维动力学]]），鞍结点分岔的最简微分方程形式（标准型）如下
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
<math display="block">
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</math>
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
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* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是[[状态变量]]，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导[[分岔]]产生的外部参数。
* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>的取值范围为应为[[不动点]](<math>x=x^*</math>)的邻域，即<math>-\varepsilon <x<\varepsilon </math>，<math>r</math>的取值范围应为[[临界点]]<math>r=r_c</math>的邻域，即<math>-\delta <r<\delta </math>，否则无法忽略高阶项。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>的取值范围为应为[[不动点]](<math>x=x^*</math>)的邻域，即<math>-\varepsilon <x<\varepsilon </math>，<math>r</math>的取值范围应为[[临界点]]<math>r=r_c</math>的邻域，即<math>-\delta <r<\delta </math>，否则无法忽略高阶项。
鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半[[稳定不动点]]，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。
==[[不动点]]和稳定性分析==
==[[不动点]]和稳定性分析==
以<math display="block">
以<math display="block">
</math>
</math>
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半[[稳定不动点]]，箭头为演化[[方向]]。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 1.png|800px]]
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 1.png|800px]]
\dot{x} = r - x^2
\dot{x} = r - x^2
</math>
</math>
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半[[稳定不动点]]，箭头为演化[[方向]]。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为[[稳定不动点]]，空心点为不[[稳定不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 2.png|800px|]]
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 2.png|800px|]]
</math>
</math>
* <math>N</math>为蚜虫的虫群数量，<math>K</math>为森林的环境承载能力。其中<math>K</math>是一个变化较慢的参数。
* <math>N</math>为蚜虫的虫群数量，<math>K</math>为森林的环境承载能力。其中<math>K</math>是一个变化较慢的参数。
* <math>rN(1 - N/K)</math> 是虫子的逻辑斯蒂增长（Logistic Growth）。
* <math>rN(1 - N/K)</math> 是虫子的逻辑斯谛增长[[种群增长模型]]（Logistic Growth）。
* <math>P(N)</math> 是捕食率曲线，通常呈 S 形，例如 <math>P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>。
* <math>P(N)</math> 是捕食率曲线，通常呈 S 形，例如 <math>P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个[[稳定不动点]]。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个[[稳定不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=
与一维[[动力系统]]中的鞍结点[[分岔]]类似，二维鞍结点[[分岔]]同样描述了一个[[稳定不动点]]和一个不[[稳定不动点]]随参数变化相互靠近、碰撞并最终同时消失的过程。在[[环]]、[[无限周期分岔]]等其他[[非线性系统]]的参数讨论中也有出现鞍结点[[分岔]]的身影。
与一维[[动力系统]]中的鞍结点[[分岔]]类似，二维鞍结点[[分岔]]同样描述了一个[[稳定不动点]]和一个不[[稳定不动点]]随参数变化相互靠近、碰撞并最终同时消失的过程。在[[极限环]]、[[无限周期分岔]]等其他[[非线性系统]]的参数讨论中也有出现鞍结点分岔的身影。
==标准型==
==标准型==
* <math>\mu</math>为[[分岔参数]]。
* <math>\mu</math>为[[分岔参数]]。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（<math>\lambda_y = -1</math>），表明系统在非[[分岔]][[方向]]上是稳定的。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（<math>\lambda_y = -1</math>），表明系统在非分岔方向上是稳定的。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mu - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=ay</math>的形式，其中参数小于零）。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mu - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=ay</math>的形式，其中参数小于零）。
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
系统存在两个[[平衡点]]：
系统存在两个[[平衡点]]：
* [[稳定不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征[[方向]]上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
* [[稳定不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
* 不[[稳定不动点]] <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> [[方向]]吸引，在 <math>x</math> [[方向]]排斥。
* 不稳定不动点 <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> [[方向]]吸引，在 <math>x</math> [[方向]]排斥。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不[[稳定不动点]]的分割，大部分轨线最终收敛于[[稳定不动点]]。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不[[稳定不动点]]的分割，大部分轨线最终收敛于[[稳定不动点]]。