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鞍结点分岔 (查看源代码)

2026年1月29日 (四) 18:43的版本

添加78字节、 2026年1月29日 (星期四)

第10行：第10行：

* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。

−

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

+

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

−

~~只有在此微小邻域内，泰勒展开后的低阶项才能主导系统的定性行为。~~

+

只有在此微小邻域内，泰勒展开后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。

鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。

第71行：第71行：

===例子===

−

以<math>\dot{x} = r - x - e^x</math>为例

+

以<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>为例

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令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x=e^x</math>，两曲线相切的点即为我们需要的不动点<math>x^*=0</math>，临界值<math>r_c = 1</math>。

+

令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x=\mathrm{e}^{-x}</math>，两曲线相切的点即为我们需要的不动点<math>x^*=0</math>，临界值<math>r_c = 1</math>。

在<math>x^*=0</math>，<math>r_c = 1</math>附近，将<math>e^x</math>在<math>x=0</math>处进行泰勒展开，得到

刘子豪

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