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* 考虑<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。'''注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在'''。

* 考虑<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f'(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。'''注意该定理只是说解在初始时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在'''。

* 考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = \tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。

* 考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述[[微分方程]]可得 <math>x(t) = \tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。