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第3行： − 跨临界分岔的名称最早由安德罗诺夫（A. A. Andronov）与列昂托维奇（E. A. Leontovich）给出，并且讨论了不同参数下系统的不动点情况。+ − 分岔的早期研究可追溯到庞加莱（Jules Henri Poincaré）时期。庞加莱最早提出了“[[分岔]]”的概念。他重点研究了这样一种现象：当外部条件（即参数）发生改变时，系统原本可能存在的几种不同状态（即方程不同的解的分支）会逐渐靠近、合并，并最终完全消失。他当时描绘的这一过程，与鞍结点分岔的情况非常相似。<ref name="Poincare1885">H. Poincare (1885). sur l'i~ouilibre d'ui~e masse fluide animi~e d'un mouvemeht de rotation</ref>+ + − 跨临界分岔的名称最早由苏联学者安德罗诺夫（A. A. Andronov）与列昂托维奇（E. A. Leontovich）给出，并且在他们的研究中，系统地讨论了参数变化对系统不动点的影响。<ref name="Andronov1957">A. A. Andronov, E. A. Leontovich (1957). On the generation of limit cycles from a loop of a separatrix and from the separatrix of the state of equilibrium of saddle-knot type</ref>+
→历史溯源
== 历史溯源 ==
== 历史溯源 ==
分岔的早期研究可追溯到庞加莱（Jules Henri Poincaré）时期。庞加莱最早提出了“[[分岔]]”的概念。他重点研究了这样一种现象：当外部条件（即参数）发生改变时，系统原本可能存在的几种不同状态（即方程不同的解的分支）会逐渐靠近、合并，并最终完全消失。他当时描绘的这一过程，与鞍结点分岔的情况非常相似。<ref name="Poincare1885">H. Poincare (1885). sur l'i~ouilibre d'ui~e masse fluide animi~e d'un mouvemeht de rotation</ref>
之后苏联学者安德罗诺夫（A. A. Andronov）1937年提出“粗糙系统/结构稳定性”思想，被视为现代分岔理论的重要起点之一（从“稳定拓扑结构”角度刻画分岔的发生）。
1938 安德罗诺夫（A. A. Andronov）和列昂托维奇（E. A. Leontovich）在 Doklady AN SSSR 提交论文，引入“非粗糙度阶（degrees of nonroughness）”并研究相平面分解的定性结构改变，推动“分岔集合/余维”思想萌芽。
在他们的研究中，系统地讨论了参数变化对系统不动点的影响。<ref name="Andronov1957">A. A. Andronov, E. A. Leontovich (1957). On the generation of limit cycles from a loop of a separatrix and from the separatrix of the state of equilibrium of saddle-knot type</ref>，跨临界分岔由此而现。
== 标准型及其性质 ==
== 标准型及其性质 ==