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跨临界分岔 (查看源代码)

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第16行：第16行：

|{{EquationRef|1}}}}

* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是[[状态变量]]，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导[[分岔]]产生的外部参数。

−

*对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），[[状态变量]] <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

−

**<math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

−

**<math>r</math> 的取值范围应为[[临界]]值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

−

~~只有在此微小邻域内，[[泰勒展开]]后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。~~

跨临界[[分岔]]的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。

第45行：第40行：

分岔图如下：[[分岔]]图是以参数<math>r</math>为自变量，系统不动点<math>x^*</math>为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的数量和性质的关系。

[[文件:跨临界分岔图.jpg|无|缩略图]]

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== 案例：激光模型 ==

黄芸

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