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→PhiID框架在基因网络中的应用
引一下定量因果涌现
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=== 相关框架 ===
==== 部分熵分解 ====
部分熵分解是PID框架最直接的推广，与标准的PID框架不同之处在于，它不分解源变量集对目标变量的互信息，而是直接分解变量集合的联合熵，无需区分源变量与目标变量。
其核心逻辑与PID框架保持一致，即只要有由满足特定公理的冗余熵函数，就可通过Mobius反演构建冗余格。
在PED中,部分信息原子被替换为了同名的部分熵原子,也包括冗余、独特、协同三个部分,从而可以将随机变量的熵与联合熵及二元互信息重构为部分熵原子的形式
H(X_1,X_2) = H_{\partial}(\{{X}_1\},\<nowiki>{{X}_2\}) + H_{\partial}{\{X_1\}}</nowiki> + H_{\partial}(\{X_2\}) + H_{\partial}(\{X_1,X_2\})
H(X_1) = H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\}) + H_{\partial}(\{X_1\})
H(X_2) = H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\}) + H_{\partial}(\{X_2\})
进一步有
I(X_1,X_2) = H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\}) - H_{\partial}(\{X_1,X_2\})
PED框架揭示了这样的事实：在更复杂的情景中，双变量互信息结构会变得更加复杂
例如：考虑三个变量X_1,X_2和X_3的情况，此时以PED框架分解其中的二元互信息I(X_1;X_2)
I(X_1,X_2) = H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\}\{X_3\})+H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\})
-H_{\partial}(\{X_3\}\{X_1,X_2\})-H_{\partial}(\{X_1,X_2\}\{X_1,X_3\}\{X_2,X_3\})
-H_{\partial}(\{X_1,X_2\})
从而可发现：
双变量互信息不仅包含了三个变量间的冗余熵H_{\partial}(\{X_1\}\{X_2\}\{X_3\}),还对X_1和X_2联合状态中的信息进行了惩罚。这表明：两个变量间的依赖关系未必仅包含它们共享的信息，还可能包含非局域性的“高阶”信息。
在这种情况下，高阶信息会被重复计算，从而导致系统中表观依赖关系的整体数值被整体性地放大。
==== 整合信息分解(ΦID) ====
整合信息分解是一种PID框架的推广,该框架旨在综合部分信息框架与整合信息论（IIT),克服 PID 单目标变量局限与传统整合信息测度（如 \PhiWMS、CD）的行为不一致性局限，并将PID扩展至多源。
这一框架的核心结构分为两部分：其一是可以呈现多变量信息结构特征的'''双重冗余格'''\mathcal{A}^2 = \mathcal {A} \times \mathcal{A}，\mathcal{A}是单一目标冗余格，其二用于捕捉信息在多个来源的'''双重冗余函数'''I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta}
'''双重冗余格'''：
取\mathcal{A} = \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},\{\{1\}\{2\}\}\}，由其生成的双重冗余格结构如下图所示,
[[文件:双重冗余格.png|缩略图]]
1763606756291.png
<nowiki>图中每个节点代表一有序对\mathbf{\alpha \rightarrow \beta},\mathbf{\alpha,\beta \in \mathcal {A}},称双冗余原子</nowiki>
双重冗余格上定义了偏序关系
\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta} \preceq\mathbf{\alpha'} \rightarrow \mathbf{\beta}' \Leftrightarrow \mathbf{\alpha} \preceq a',\beta \preceq \beta'
'''双重冗余函数'''：
双重冗余函数I_{\cap}^{\alpha \rightarrow \beta},是针对双重冗余格中的每个节点\alpha \rightarrow \beta 定义的函数——其中\alpha代表源变量集，\beta代表目标变量集。它的数学形式也由一组特定的公理约束得到。双重冗余函数的功能是量化源变量集合\alpha与目标变量集合\beta被共同观测到的重叠信息，是一种多源目标场景下冗余信息的广义形式。
常用的双重冗余函数为最小互信息函数：
I_{\phi\cap}^{MMI}(\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta}) = \min_{i,j}I(A_i,B_i)
对于何种冗余函数能与乘积格兼容，存在特定限制条件。面对Mediano等人提出的“兼容性约束”条件，在多源单目标场景中，要求 \PhiID 必须回归标准PID模式，这说明PID是 \PhiID的一种特例。
与单目标PID的情况不同,双重冗余格并源自冗余函数，而是通过边际格的乘积自然形成，这种用偏序格的代数结构处理冗余信息的方法在逻辑上正确性已成为学界共识，但相比于PID框架，\PhiID框架的数学基础处于亟待完善的状态。
== 讨论 ==
== 讨论 ==