“保守系统的非线性中心”的版本间的差异

2026年4月3日 (五) 18:09的版本

保守系统

定义

又称机械能转换与守恒定律。其内容是：一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。^[1]

在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为保守系统。^[2]

在非线性动力学中，假定某一系统[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math],该系统具有一个实值连续函数 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math]且在轨道上是恒定的，即[math]\displaystyle{ dE/dt =0 }[/math],则称此具有一个守恒量的系统为保守系统。^[3]

性质

一个保守系统不会存在任何吸引不动点。

保守系统的非线性中心

考虑系统 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math] ，其中点 [math]\displaystyle{ x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2 }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是连续可导的。假设存在一个守恒量 [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] , [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是 [math]\displaystyle{ E }[/math] 的局部极小值，那么所有足够接近 [math]\displaystyle{ x^* }[/math] 的轨迹都是闭合的。

可逆系统

定义

考虑相空间中任意到自身的映射[math]\displaystyle{ R(x) }[/math]满足[math]\displaystyle{ R^2(x) = x }[/math]（该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为[math]\displaystyle{ t→ - t }[/math]，[math]\displaystyle{ x→ R(x) }[/math]是不变的，那么系统[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x) }[/math]是可逆的。

性质

可逆系统的非线性中心

假设原点[math]\displaystyle{ x^* = 0 }[/math]是一个连续可导系统的线性中心，系统为

[math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x, y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{y} = g(x, y) }[/math]

假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。

↑ 知网空间-学术百科-保守系统
↑ 都有为主编. 物理学大辞典[M]. 北京：科学出版社, 2017
↑ STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017

[1] 知网空间-学术百科-保守系统

[2] 都有为主编. 物理学大辞典[M]. 北京：科学出版社, 2017

[3] STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017

[1]

[2]

[3]

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 === 定义 ===
-又称机械能转换与守恒定律。其内容是:一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。<ref>[https://wiki.cnki.com.cn/HotWord/1396366.htm 知网空间-学术百科-保守系统]</ref>
+又称机械能转换与守恒定律。其内容是：一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变。<ref>[https://wiki.cnki.com.cn/HotWord/1396366.htm 知网空间-学术百科-保守系统]</ref>
 在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为保守系统。<ref>都有为 主编. 物理学大辞典[M]. 北京：科学出版社, 2017</ref>
-在非线性动力学中，假定某一系统<math>ẋ = f(x)</math>,该系统具有一个实值连续函数 <math>E(x)</math>且在轨道上是恒定的，即<math>dE/dt =0</math>,则称此具有一个守恒量的系统为'''保守系统'''。<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>
+在非线性动力学中，假定某一系统<math>\dot{x} = f(x)</math>,该系统具有一个实值连续函数 <math>E(x)</math>且在轨道上是恒定的，即<math>dE/dt =0</math>,则称此具有一个守恒量的系统为'''保守系统'''。<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>
 === 性质 ===
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 == 保守系统的非线性中心 ==
-考虑系统 <math>ẋ = f(x)</math> ，其中点 <math>x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2</math> ，且 <math> f</math>  是连续可导的。假设存在一个守恒量  <math>E(x)</math> , <math>x^*</math> 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 <math> f</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值，那么所有足够接近 <math>x^*</math> 的轨迹都是闭合的。
+考虑系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ，其中点 <math>x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2</math> ，且 <math> f</math>  是连续可导的。假设存在一个守恒量  <math>E(x)</math> , <math>x^*</math> 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果 <math> f</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值，那么所有足够接近 <math>x^*</math> 的轨迹都是闭合的。
 ==可逆系统==
 ===定义===
-考虑相空间中任意到自身的映射<math>R(x)</math>满足<math>R^2(x) = x</math>（该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为<math>t→ - t</math>，<math>x→ R(x)</math>是不变的，那么系统<math>ẋ = f(x)</math>是可逆的。
+考虑相空间中任意到自身的映射<math>R(x)</math>满足<math>R^2(x) = x</math>（该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为<math>t→ - t</math>，<math>x→ R(x)</math>是不变的，那么系统<math>\dot{x} = f(x)</math>是可逆的。
 ===性质===
 ==可逆系统的非线性中心==
 假设原点<math>x^* = 0</math>是一个连续可导系统的线性中心，系统为
-<math>ẋ = f(x, y)</math>
+:<math>\dot{x} = f(x, y)</math>
-<math>ẏ = g(x, y)</math>
+:<math>\dot{y} = g(x, y)</math>
 假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。<references />