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'''极限环的定义：'''极限环的标准定义是 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）动力系统相空间中一条孤立周期轨道，且在其某个邻域内不存在其他周期轨道。

'''极限环的定义：'''极限环的标准定义是 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）动力系统相空间中一条孤立周期轨道，且在其某个邻域内不存在其他周期轨道。

在许多动力系统中，极限环同时还是邻近轨道的 α 极限集或 ω 极限集，因此刻画了系统的长期周期行为。，即至少存在一条不同于它本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋近于该闭合轨道。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref> 值得注意的是，一维自治系统中不可能存在极限环，因为一维相空间中的轨道只能单调递增、单调递减或停留于平衡点，无法构成闭合曲线。

在许多动力系统中，极限环同时也是某些其他轨道的极限集：即至少存在一条不同于极限环本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋近于该闭合轨道，此时极限环分别是这些轨道的 <math>\omega</math> 极限集或 <math>\alpha</math> 极限集。。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref> 值得注意的是，一维自治系统中不可能存在极限环，因为一维相空间中的轨道只能单调递增、单调递减或停留于平衡点，无法构成闭合曲线。

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）自治动力系统

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）自治动力系统