“非线性中心”的版本间的差异

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{{DISPLAYTITLE:非线性中心}}
 
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== '''保守系统''' ==
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在非线性动力学中，'''非线性中心（Nonlinear Center）'''是指相平面上某一孤立不动点附近的所有轨迹均为闭合曲线（周期轨道）的动力学现象。在线性系统中，若雅可比矩阵的特征值为纯虚数，则该不动点为线性中心；然而，对于非线性系统，特征值为纯虚数并不能保证该点一定是中心——微小的非线性项就可能将中心转变为稳定或不稳定的'''焦点（Focus）'''。
  
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=== 定义 ===
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为了判定非线性系统的中心稳定性，需要借助系统的附加结构性质。两类重要的系统——'''保守系统'''与'''可逆系统'''——提供了判定非线性中心的有力工具。这两种方法分别从能量守恒的几何性质和时间反演的对称性出发，确立了非线性中心存在的充分条件。
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又称机械能转换与守恒定律。其内容是：一个物体系统内如果只有保守内力做功,外力和非保守内力都不做功,则系统内各物体的动能和势能可以相互转换,但它们的总和保持不变<ref>[https://wiki.cnki.com.cn/HotWord/1396366.htm 知网空间-学术百科-保守系统]</ref>。
 
  
  
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在经典力学中，保守或守恒源自保守力做功与路径无关。在量子力学中，称由与时间无关的哈密顿量描写的系统为'''保守系统 Conservative System'''<ref>都有为 主编. 物理学大辞典[M]. 北京：科学出版社, 2017</ref>。
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== '''保守系统中的非线性中心''' ==
  
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=== 定义 ===
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在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>（其中 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2</math>）存在一个光滑的实值函数 <math>E(\mathbf{x})</math>，使得沿任意轨迹 <math>\mathbf{x}(t)</math> 均有 <math>\frac{dE}{dt} = 0</math>，且 <math>E(\mathbf{x})</math> 在任何开集上不为常数，则称该系统为'''保守系统'''，<math>E(\mathbf{x})</math> 称为'''守恒量'''或'''第一积分'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。
  
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在非线性动力学中，假定某一系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ,该系统具有一个实值连续函数 <math>E(x)</math> 且在轨道上是恒定的，即 <math>\frac{dE}{dt} =0</math> ,则称此具有一个守恒量的系统为'''保守系统'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。
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=== 定理（保守系统的非线性中心）===
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考虑系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，其中 <math>\mathbf{x} = (x, y) \in \mathbb{R}^2</math>，<math>\mathbf{f}</math> 是连续可微的。假设存在一个守恒量 <math>E(\mathbf{x})</math>，且 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''孤立不动点'''（即在其某个邻域内没有其他不动点）。若 <math>\mathbf{x}^*</math> 是 <math>E(\mathbf{x})</math> 的一个'''局部极小值'''（或局部极大值），则所有充分接近 <math>\mathbf{x}^*</math> 的轨迹都是闭合的，即 <math>\mathbf{x}^*</math> 是一个'''非线性中心'''。
  
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===案例===
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'''证明思路：''' 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 <math>E(\mathbf{x})</math> 的某一等高线上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 <math>\mathbf{x}^*</math> 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。
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一个质子<math>m</math>在非线性力<math>F(x)</math>下沿<math>x</math>轴移动。假设<math>F</math>是关于<math>\dot{x}</math>和<math>t</math>是独立的；且没有任何摩擦或阻力，且驱动力是不随时间变化的。此时能量守恒
 
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:<math>m\ddot{x}</math>=F(x)
 
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定义势能<math>V(x)</math>，有<math>F(x)=-\frac{dV}{dx}</math>，有
 
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[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|300px]]
 
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:<math>m\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0</math>
 
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两边同时乘以<math>\dot{x}</math>，得到一个关于时间的导数
 
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:<math>m\dot{x}\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0 \Rightarrow \frac{d}{dt}[\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)]=0</math>
 
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对于一个特定的解<math>x(t)</math>，总能量不随时间变化
 
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:<math>E=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)</math>
 
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该系统则为保守系统。
 
  
  
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=== 性质 ===
 
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* 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。
 
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'''反证法：'''假设<math>x^*</math>是一个吸引不动点。那么在吸引域中的所有点将具有同等能量<math>E(x^*)</math>。（因为能量在轨道上是守恒的，并且在区域内的所有轨迹都流向<math>x^*</math>）。
 
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因此<math>E(x)</math>对与所以吸引域内的<math>x</math>一定是常量函数。因为保守系统要求<math>E(x)</math>对于所有开集是非恒定的，因此这与保守系统的定义相矛盾。
 
  
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[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|300px]]
  
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== '''保守系统的非线性中心''' ==
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=== 示例：双阱势系统 ===
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考虑系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> ，其中点 <math>x ＝ (x, y)\in \mathbb{R}^2</math> ，且 <math> f</math> 是连续可导的。假设存在一个守恒量  <math>E(x)</math> , <math>x^*</math> 是一个孤立不动点（在它的一个小邻域内没有其他不动点)。如果  <math> f</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值，那么所有足够接近  <math>x^*</math> 的轨迹都是闭合的。故<math>x^*</math> 是非线性中心。
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考虑一个单位质量粒子在双阱势 <math>V(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4</math> 中的无阻尼运动。运动方程为 <math>\ddot{x} = x - x^3</math>，等价系统为：
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:<math>\dot{x} = y, \quad \dot{y} = x - x^3.</math>
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系统具有守恒量（总能量）：
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:<math>E(x, y) = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4.</math>
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不动点为 <math>(0,0)</math> 和 <math>(\pm 1, 0)</math>。在 <math>(0,0)</math> 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 <math>(\pm 1, 0)</math> 处，<math>E(x, y)</math> 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。
  
  
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== '''可逆系统中的非线性中心''' ==
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===定义===
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如果存在一个相空间到自身的映射 <math>R(\mathbf{x})</math>，满足 <math>R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>（即 <math>R</math> 是一个对合变换），使得系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 在变换 <math>t \to -t</math>，<math>\mathbf{x} \to R(\mathbf{x})</math> 下保持不变，则称该系统为'''可逆系统'''。
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最常见的二维情形是系统具有关于 <math>x</math> 轴的反射对称性：即变换 <math>t \to -t</math>，<math>y \to -y</math> 保持系统不变。这等价于要求方程 <math>\dot{x} = f(x,y)</math>，<math>\dot{y} = g(x,y)</math> 中的 <math>f</math> 关于 <math>y</math> 是奇函数（<math>f(x,-y) = -f(x,y)</math>），且 <math>g</math> 关于 <math>y</math> 是偶函数（<math>g(x,-y) = g(x,y)</math>）。
  
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=== 定理（可逆系统的非线性中心）===
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假设原点 <math>\mathbf{x}^* = \mathbf{0}</math> 是一个连续可微可逆系统的'''线性中心'''。若系统是可逆的，则原点也是一个'''非线性中心'''，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。
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'''证明思路：''' 考虑一条从正 <math>x</math> 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 <math>x</math> 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 <math>x</math> 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。
  
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=='''可逆系统'''==
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=== 示例：无阻尼钟摆 ===
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===定义===
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无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：
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考虑相空间中任意到自身的映射 <math>R(x)</math> 满足 <math>R^2(x) = x</math> （该映射作用两次，所有的点都返回到它们的起始位置）。如果在变量改变为 <math>t→ - t</math> ， <math>x→ R(x)</math> 是不变的，那么系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 是'''可逆系统 Reversible System'''。
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:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.</math>
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===性质===
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令 <math>\omega = \sqrt{g/L}</math>，<math>\tau = \omega t</math> 进行无量纲化，得：
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*若线性化处理一个可逆系统，发现有一个中心点，则该中心点就是该系统的非线性中心。
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:<math>\ddot{\theta} + \sin\theta = 0.</math>
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*形式为<math>m\ddot{x}=F(x)</math>的任何力学系统在时间反演下都是对称的。
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写成相平面系统（<math>v = \dot{\theta}</math>）：
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=='''可逆系统的非线性中心'''==
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:<math>\dot{\theta} = v, \quad \dot{v} = -\sin\theta.</math>
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假设原点 <math>x^* = 0</math> 是一个连续可导系统的线性中心，系统为
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该系统在变换 <math>\tau \to -\tau</math>，<math>v \to -v</math> 下保持不变，因此是可逆的。不动点 <math>(\theta^*, v^*) = (0,0)</math> 处的雅可比矩阵为 <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math>，特征值为 <math>\pm i</math>，故为线性中心。根据可逆系统的非线性中心定理，<math>(0,0)</math> 也是一个非线性中心，对应钟摆在最低点的微小摆动。此外，系统也具有守恒量 <math>E = \frac{1}{2}v^2 - \cos\theta</math>，且 <math>(0,0)</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值点，这从保守系统的角度也印证了该结论。
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:<math>\dot{x} = f(x, y)</math>
 
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:<math>\dot{y} = g(x, y)</math>
 
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其中<math>f</math>是关于<math>y</math>的奇函数，<math>g</math>关于<math>y</math>的偶函数，并且<math>f</math>和<math>g</math>都是可逆的。
 
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假定系统是可逆的。如果无限接近起点，所有的轨道都是闭曲线。
 
  
 
[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图2：无阻尼钟摆|right|250px]]
 
[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图2：无阻尼钟摆|right|250px]]
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===案例===
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无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：
 
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:<math>\dfrac{d^2𝜃}{dt^2} + \frac{g}{L}sin𝜃 = 0</math>
 
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式中，<math>𝜃</math>是与垂线的夹角；<math>g</math>是重力加速度；<math>L</math>是钟摆的长度。
 
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引入频率<math>\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}</math>和无量纲的时间<math>\tau = \omega t</math>对其无量纲化。等式变为
 
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:<math>\ddot{𝜃}+sin𝜃 = 0</math>
 
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相平面中相应的系统是
 
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:<math>\dot{𝜃} = v</math>
 
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:<math>\dot{v} = -sin𝜃</math>
 
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不动点是<math>（𝜃^* , v^*）= (k\pi , 0) </math>，<math>k</math>为任意整数。不失一般性，关注不动点<math>（0 , 0）和 (\pi , 0) </math>，在<math>(0 , 0)</math>处的雅可比行列式为
 
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:<math>A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>
 
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所以原点是一个非线性中心。
 
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考虑不动点<math>(\pi , 0)</math>，其雅可比行列式是
 
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:<math>A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
 
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特征方程是<math>\lambda ^2 - 1 = 0</math>，得到<math>\lambda _1 = -1</math>，<math>\lambda _2=  1</math>，则该不动点是一个鞍点。
 
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取不同的<math>E</math>值画出相应的能量等高线，得到完整的相图信息（见图2），可见图像在<math>𝜃</math>方向上是周期性的。
 
  
  

2026年4月17日 (五) 17:22的版本


在非线性动力学中，非线性中心（Nonlinear Center）是指相平面上某一孤立不动点附近的所有轨迹均为闭合曲线（周期轨道）的动力学现象。在线性系统中，若雅可比矩阵的特征值为纯虚数，则该不动点为线性中心；然而，对于非线性系统，特征值为纯虚数并不能保证该点一定是中心——微小的非线性项就可能将中心转变为稳定或不稳定的焦点（Focus）。

为了判定非线性系统的中心稳定性，需要借助系统的附加结构性质。两类重要的系统——保守系统与可逆系统——提供了判定非线性中心的有力工具。这两种方法分别从能量守恒的几何性质和时间反演的对称性出发，确立了非线性中心存在的充分条件。


保守系统中的非线性中心

定义

在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) }[/math]（其中 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 }[/math]）存在一个光滑的实值函数 [math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math]，使得沿任意轨迹 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}(t) }[/math] 均有 [math]\displaystyle{ \frac{dE}{dt} = 0 }[/math]，且 [math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math] 在任何开集上不为常数，则称该系统为保守系统，[math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math] 称为守恒量或第一积分[1]。

定理（保守系统的非线性中心）

考虑系统 [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} = (x, y) \in \mathbb{R}^2 }[/math]，[math]\displaystyle{ \mathbf{f} }[/math] 是连续可微的。假设存在一个守恒量 [math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math]，且 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* }[/math] 是一个孤立不动点（即在其某个邻域内没有其他不动点）。若 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* }[/math] 是 [math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math] 的一个局部极小值（或局部极大值），则所有充分接近 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* }[/math] 的轨迹都是闭合的，即 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* }[/math] 是一个非线性中心。

证明思路： 由于能量沿轨迹守恒，每条轨迹都位于 [math]\displaystyle{ E(\mathbf{x}) }[/math] 的某一等高线上。在局部极值点附近，等高线是闭合的。又因假设 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* }[/math] 是孤立不动点，故在该点的小邻域内，等高线上不存在其他不动点，因此轨迹必定沿着闭合等高线运动，形成周期轨道。


图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影

示例：双阱势系统

考虑一个单位质量粒子在双阱势 [math]\displaystyle{ V(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4 }[/math] 中的无阻尼运动。运动方程为 [math]\displaystyle{ \ddot{x} = x - x^3 }[/math]，等价系统为：

[math]\displaystyle{ \dot{x} = y, \quad \dot{y} = x - x^3. }[/math]

系统具有守恒量（总能量）：

[math]\displaystyle{ E(x, y) = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4. }[/math]

不动点为 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (\pm 1, 0) }[/math]。在 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 [math]\displaystyle{ (\pm 1, 0) }[/math] 处，[math]\displaystyle{ E(x, y) }[/math] 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。


可逆系统中的非线性中心

定义

如果存在一个相空间到自身的映射 [math]\displaystyle{ R(\mathbf{x}) }[/math]，满足 [math]\displaystyle{ R^2(\mathbf{x}) = \mathbf{x} }[/math]（即 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个对合变换），使得系统 [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) }[/math] 在变换 [math]\displaystyle{ t \to -t }[/math]，[math]\displaystyle{ \mathbf{x} \to R(\mathbf{x}) }[/math] 下保持不变，则称该系统为可逆系统。 最常见的二维情形是系统具有关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 轴的反射对称性：即变换 [math]\displaystyle{ t \to -t }[/math]，[math]\displaystyle{ y \to -y }[/math] 保持系统不变。这等价于要求方程 [math]\displaystyle{ \dot{x} = f(x,y) }[/math]，[math]\displaystyle{ \dot{y} = g(x,y) }[/math] 中的 [math]\displaystyle{ f }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ y }[/math] 是奇函数（[math]\displaystyle{ f(x,-y) = -f(x,y) }[/math]），且 [math]\displaystyle{ g }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ y }[/math] 是偶函数（[math]\displaystyle{ g(x,-y) = g(x,y) }[/math]）。

定理（可逆系统的非线性中心）

假设原点 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^* = \mathbf{0} }[/math] 是一个连续可微可逆系统的线性中心。若系统是可逆的，则原点也是一个非线性中心，即所有充分接近原点的轨迹都是闭合的。 证明思路： 考虑一条从正 [math]\displaystyle{ x }[/math] 轴出发靠近原点的轨迹。由于线性部分是中心，该轨迹将绕原点旋转并最终与负 [math]\displaystyle{ x }[/math] 轴相交。利用可逆性，将轨迹关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 轴反射并反转时间方向，将得到一条具有相同端点但箭头相反的轨迹。这两条轨迹共同构成一个闭合曲线。因此原点被一族闭轨包围。

示例：无阻尼钟摆

无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值[math]\displaystyle{ sin𝜃 ≈ 𝜃 }[/math]被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：

[math]\displaystyle{ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0. }[/math]

令 [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt{g/L} }[/math]，[math]\displaystyle{ \tau = \omega t }[/math] 进行无量纲化，得：

[math]\displaystyle{ \ddot{\theta} + \sin\theta = 0. }[/math]

写成相平面系统（[math]\displaystyle{ v = \dot{\theta} }[/math]）：

[math]\displaystyle{ \dot{\theta} = v, \quad \dot{v} = -\sin\theta. }[/math]

该系统在变换 [math]\displaystyle{ \tau \to -\tau }[/math]，[math]\displaystyle{ v \to -v }[/math] 下保持不变，因此是可逆的。不动点 [math]\displaystyle{ (\theta^*, v^*) = (0,0) }[/math] 处的雅可比矩阵为 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} }[/math]，特征值为 [math]\displaystyle{ \pm i }[/math]，故为线性中心。根据可逆系统的非线性中心定理，[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] 也是一个非线性中心，对应钟摆在最低点的微小摆动。此外，系统也具有守恒量 [math]\displaystyle{ E = \frac{1}{2}v^2 - \cos\theta }[/math]，且 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] 是 [math]\displaystyle{ E }[/math] 的局部极小值点，这从保守系统的角度也印证了该结论。

图2：无阻尼钟摆


参考资料

  1. ↑ STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017
取自“https://wiki.swarma.org/index.php?title=非线性中心&oldid=49745”