梯度系统

在动力系统理论中，梯度系统（gradient system）是指可以写成光滑势函数负梯度形式的自治系统：

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}' = -\nabla V(\mathbf{x}) }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} }[/math] 为光滑势函数（potential function）。梯度系统在任意维度下均不可能存在极限环或任何周期轨道，是排除极限环存在的最直接工具之一。

排除极限环的证明

沿任意轨道计算势函数 [math]\displaystyle{ V }[/math] 的时间导数：

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}V(\mathbf{x}(t)) = \nabla V(\mathbf{x})\cdot \mathbf{x}' = -|\nabla V(\mathbf{x})|^2 \leq 0 }[/math]

这说明 [math]\displaystyle{ V }[/math] 沿轨道单调不增，且在非平衡点处严格递减——系统始终沿势函数下降最快的方向运动。而周期轨道要求系统在一个周期后回到初始状态，[math]\displaystyle{ V }[/math] 的值也必须恢复原值，这与上述严格单调性矛盾。因此，梯度系统中不可能存在闭轨道或极限环。该结论适用于任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 维系统。

示例

考虑二维系统： [math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = -x, \\ \dot{y} = -y. \end{cases} }[/math]

该系统可写成梯度形式 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}' = -\nabla V }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) }[/math]。计算得

[math]\displaystyle{ \dot{V} = -x^2 - y^2 \leq 0 }[/math]

且仅在原点处取等。因此 [math]\displaystyle{ V }[/math] 沿轨道严格单调递减，系统不可能存在任何闭轨道或极限环。

与李雅普诺夫函数方法的关系

梯度系统可视为李雅普诺夫函数方法的特殊情形：势函数 [math]\displaystyle{ V }[/math] 即为一个李雅普诺夫函数。然而梯度系统要求系统具有特定的势函数结构，条件较为严格；李雅普诺夫函数方法则更为灵活，不要求系统具有梯度形式。