Dulac 准则

在二维动力系统理论中，Dulac 准则（Dulac criterion），又称 Bendixson–Dulac 定理，是排除极限环存在的重要工具。该准则通过引入适当的权函数，将排除极限环的问题转化为判断加权散度的符号问题。Dulac 准则本质上依赖于平面向量场的散度性质，因此仅适用于二维系统。

定理表述

考虑平面系统：

[math]\displaystyle{ x' = P(x,y), \qquad y' = Q(x,y) }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ P }[/math]、[math]\displaystyle{ Q }[/math] 连续可微。若存在连续可微函数 [math]\displaystyle{ B(x,y) }[/math]（称为 Dulac 函数），使得加权散度

[math]\displaystyle{ \frac{\partial (BP)}{\partial x} + \frac{\partial (BQ)}{\partial y} }[/math]

在某个单连通区域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 内处处同号且不恒为零，则 [math]\displaystyle{ D }[/math] 内不存在闭轨道，从而不存在极限环。

数学原理

上式本质上是加权向量场 [math]\displaystyle{ (BP, BQ) }[/math] 的散度。由格林公式，若散度在区域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 内处处同号，则向量场在该区域内整体表现为纯收缩或纯扩张，轨道无法首尾相接构成闭合回路。这与周期轨道的存在性直接矛盾。

当 [math]\displaystyle{ B \equiv 1 }[/math] 时，该准则退化为经典的 Bendixson 判据：若 [math]\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} }[/math] 在单连通区域内处处同号且不恒为零，则该区域内不存在极限环。

示例

考虑系统： [math]\displaystyle{ x' = y, \qquad y' = -x - y + x^2 + y^2 }[/math]

取 Dulac 函数 [math]\displaystyle{ B(x,y) = e^{-2x} }[/math]，计算加权散度：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(e^{-2x} \cdot y)}{\partial x} + \frac{\partial(e^{-2x}(-x-y+x^2+y^2))}{\partial y} = e^{-2x}(-2y) + e^{-2x}(-1+2y) = -e^{-2x} \lt 0 }[/math]

由于加权散度在全平面上恒为负，由 Dulac 准则知系统在全平面内不存在闭轨道，从而不存在极限环。

局限性

Dulac 准则有以下主要局限：

• 仅适用于二维系统，在三维及以上系统中没有直接对应的推广形式；
• 需要预先猜测合适的 Dulac 函数 [math]\displaystyle{ B(x,y) }[/math]，一般无系统性构造方法；
• 仅在单连通区域内有效，对于含空洞的区域需要额外处理。

与其他排除方法的关系

三种主要的极限环排除方法在适用范围上逐步推广：梯度系统是最特殊的情形，李雅普诺夫函数方法将其推广到更一般的单调量且适用于任意维度，而 Dulac 准则则通过引入权函数 [math]\displaystyle{ B }[/math] 在二维框架内进一步扩大了适用范围，但无法推广至高维。