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基于极坐标方程，高阶非线性参数 <math>a</math> 对系统相图结构的决定性影响表现如下：

基于极坐标方程，高阶非线性参数 <math>a</math> 对系统相图结构的决定性影响表现如下：

'''稳定焦点'''：当 <math> a < 0 </math> 时，对于任意 <math> r > 0</math>，径向演化 <math> \dot{r} < 0</math>。轨线随时间向内螺旋收缩，原有闭轨被高阶项破坏，原点退化为渐近稳定的[[焦点]]。

* '''稳定焦点'''：当 <math> a < 0 </math> 时，对于任意 <math> r > 0</math>，径向演化 <math> \dot{r} < 0</math>。轨线随时间向内螺旋收缩，原有闭轨被高阶项破坏，原点退化为渐近稳定的[[焦点]]。

 

'''非线性中心'''：当且仅当 <math> a = 0 </math> 时，系统无径向耗散 <math>（\dot{r} \equiv 0）</math>，角速度恒定。轨线在[[相空间]]中形成一族完美的同心圆闭轨，原点维持中心结构。

* '''非线性中心'''：当且仅当 <math> a = 0 </math> 时，系统无径向耗散 <math>（\dot{r} \equiv 0）</math>，角速度恒定。轨线在[[相空间]]中形成一族完美的同心圆闭轨，原点维持中心结构。

 

'''不稳定焦点'''：当 <math>a > 0 </math> 时，径向演化 <math> \dot{r} > 0</math>。轨线随时间向外螺旋发散，原点退化为不稳定的排斥焦点。

* '''不稳定焦点'''：当 <math>a > 0 </math> 时，径向演化 <math> \dot{r} > 0</math>。轨线随时间向外螺旋发散，原点退化为不稳定的排斥焦点。

 

该经典实例表明，当动力系统处于纯虚数特征值的临界状态时，其相图拓扑极度脆弱，局部的真实稳定性完全由极微小的高阶非线性扰动（本例中的  <math>a r^3 </math> 项）所主导。

该经典实例表明，当动力系统处于纯虚数特征值的临界状态时，其相图拓扑极度脆弱，局部的真实稳定性完全由极微小的高阶非线性扰动（本例中的  <math>a r^3 </math> 项）所主导。