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[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|none|'''范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator''' 的稳定极限环|thumb|300x300像素]]

[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|none|'''范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator''' 的稳定极限环|thumb|300x300像素]]

[[范德珀尔振子]]是研究极限环的经典[[非线性系统]]，由荷兰物理学家[[Balthasar van der Pol]]在研究电子管振荡电路时提出<ref name="vanderPol">van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. ''The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', 2(11), 978–992.</ref>：

[[范德珀尔振子]]是研究极限环的经典[[非线性系统]]，由荷兰物理学家[[Balthasar van der Pol]]（通常译为范德波尔）于1920年在研究真空电子管振荡电路时提出<ref name="vanderPol">van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. ''The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science'', 2(11), 978–992.</ref>：

:<math display="block">\ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0</math>

:<math display="block">\ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0</math>

原点处线性化矩阵的特征值实部为正，故原点是[[不稳定焦点]]。另一方面，通过估计[[能量函数]]可以证明轨道被限制在有界环形区域内。由[[庞加莱–本迪克松定理]]知该区域内存在极限环，结合唯一性论证可知恰好存在一条，所有非平衡轨道最终趋向该极限环。参数 <math>\mu</math> 较小时振荡近似正弦波；较大时出现[[松弛振荡]]（relaxation oscillation）<ref name="Strogatz" />。

原点处线性化矩阵的特征值实部为正，故原点是[[不稳定焦点]]。另一方面，通过估计[[能量函数]]可以证明轨道被限制在有界环形区域内。由[[庞加莱–本迪克松定理]]知该区域内存在极限环，结合唯一性论证可知恰好存在一条，所有非平衡轨道最终趋向该极限环。参数 <math>\mu</math>为0时，方程退化为简谐振荡器，系统做等幅正弦振荡，没有能量耗散或注入，能量守恒； 较小时（当[math]\displaystyle{ 0<\mu<<1 }[/math]时）振荡近似正弦波；较大时（当[math]\displaystyle{ \mu>>1 }[/math]时）出现[[松弛振荡]]（relaxation oscillation）<ref name="Strogatz" />。

=== 极限环的排除方法 ===

=== 极限环的排除方法 ===