范德珀尔振子

范德珀尔振子

定义

范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究极限环非线性系统的经典实例，作为一个耗散性非线性震荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：

[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]

其中x为位置坐标，作为时间t的函数，μ是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。

历史

范德珀尔振子是极限环理论发展历程的一个重要发现，作为非线性动力学系统的一个典型案例，于1920年被时任飞利浦公司的电气工程师的荷兰物理学家巴尔塔萨·范德珀尔在研究真空电子管振荡电路时提出[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型，也是极限环的典型代表之一。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了驰豫振荡（张弛振荡，relaxation oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象；同时，也开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，范德珀尔在研究此系统中引入了平均法，他与Van der Mark 于1927年在《Nature》上发表了关于“不规则噪声”的报告，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一；此外，该发现还间接催生了后续混沌理论的诞生。

主要内容

数学模型

范德珀尔振子为一个二阶非线性自激振荡系统，其主体数学模型 [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math] 也可写为状态空间方程组的形式：

其中： （1）x是位移（或电压等物理量）。 （2）x ̇是速度，x ̈是加速度 （3）μ是非线性阻尼参数（μ≥0），控制着非线性效应的强弱，振子动力学特性由Mu单独决定。

物理意义与动力学行为

范德珀尔振子在非线性阻尼参数不同时，存在以下三种情况：

（1）当 [math]\displaystyle{\quad \mu \gt 0 }[/math] 时：方程退化为简谐振荡器[math]\displaystyle{ \ddot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]，系统做等幅正弦振荡，没有能量耗散也没有能量注入。

（2）当[math]\displaystyle{\quad \[0<\ mu \||1 }[/math]时：非线性较弱，系统表现出接近正弦波的振荡，但振幅会缓慢调整，最终稳定在一个极限环上。

（3）当[math]\displaystyle{mu >> 1, \quad \mu \gt 0 }[/math]时：非线性很强，系统表现出弛豫振荡（Relaxation Oscillation）。波形不再是正弦波，而是呈现“缓慢充电、快速放电”的锯齿状或脉冲状特征，最终也将收敛于一个极限环。这在生物神经元的动作电位模型中非常常见。

延伸

（1）受迫范德珀尔振子

当方程右边不为0的时候，即受到外部激励（External Excitation），成为受迫范德珀尔振子（Van der Pol-Duffing oscillator）： [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = F*cos(omega*t)}[/math] 此系统经历一系列分岔（Bifurcation）过程，这个系统从稳定的极限环走向混沌。

（2）霍普夫分叉

当μ从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用：当 μ= 0时，微分方程都变成线性，原点变成圆形节点。

在霍普夫分叉中，极限环应当具有正比于[math]\displaystyle{ ε^(1/2) }[/math]的振幅，现令 ε=μ， 我们可能会尝试使用变量的变化[math]\displaystyle{ u\gt μ^(1/2)x }[/math]将范德珀尔振子转换为霍普夫分叉,得到：

[math]\displaystyle{ \ddot{u} +u+ u^2*dot{u} - ε *dot{u}= 0}[/math]

此式即为一个霍普夫分叉的模型。

（3）范德珀尔振子的哈密尔顿量

人们还可以为范德波尔振荡器编写一个与时间无关的哈密顿形式，方法是使用辅助二阶非线性微分方程将其增强为四维自主动力系统，如下所示：

应用与实例

电子电气领域的应用

在范德珀尔振子被发现的电子电气领域，该模型及其极限环和阻尼相关特性被广泛地应用，如在使用真空管的电路中，当电路在极限循环附近被驱动时，它们被拖累，即驱动信号和它一起施加电流。

关于基尔霍夫定律

生物医学领域的应用

在生物学领域中，Fitzhugh[7]和Nagumo[8]扩展了平面场中的方作为神经元动作电位的模型，即是基于范德珀尔振子的第三种情况，在振子做非线性较强的弛豫振荡时。 。

催生混沌理论的诞生

范德珀尔振子及受迫范德珀尔振子呈现的分叉性质，为最初被人类观测到的混沌现象之一，叩开了混沌世界的大门，后续基于此系统的相关研究，使混沌理论进一步发展，如1945年英国数学家卡特赖特（M.Cartwright）和李特伍德（J.Littlewood）在对受迫范德珀尔振子的研究中，在理论层面首次证明受迫范德珀尔方程存在奇异解，预示了混沌的可能性。随后，日本学者上田睆亮（Ueda Yoshisuke）于1961年首次在模拟计算机上观察到混沌吸引子，随着后续研究的深入，混沌理论的面纱也逐渐被科学家们所揭晓。