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范德珀尔振子

范德珀尔振子

== 定义 ==

== 定义 ==

范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例，作为一个耗散性非线性震荡系统,其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：

范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究[[极限环]][[非线性系统]]的经典实例，作为一个耗散性非线性震荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程，：

[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gt 0 }[/math]

其中x为位置坐标，作为时间t的函数，μ是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。

其中x为位置坐标，作为时间t的函数，μ是标量参数，决定阻尼的非线性和强度。

== 历史 ==

== 历史 ==

范德珀尔振子是极限环理论发展历程的一个重要发现，作为非线性动力学系统的一个典型案例，于1920年被时任飞利浦公司的电气工程师的荷兰物理学家巴尔塔萨·范德珀尔在研究[[真空电子管]][[振荡电路]]时提出[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型，也是极限环的典型代表之一。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了驰豫振荡（张弛振荡，relaxation oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象；同时，也开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，范德珀尔在研究此系统中引入了平均法，他与Van der Mark 于1927年在《Nature》上发表了关于“不规则噪声”的报告，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一；此外，该发现还间接催生了后续混沌理论的诞生。

范德珀尔振子是极限环理论发展历程的一个重要发现，作为非线性动力学系统的一个典型案例，于1920年被时任飞利浦公司的电气工程师的荷兰物理学家巴尔塔萨·范德珀尔在研究[[真空电子管]][[振荡电路]]时提出[8]，该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，其电路是一个由电感器、电容器和非线性电阻器组成的非线性电路，是首个被深入研究的“自激振荡”非线性模型，也是极限环的典型代表之一。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了驰豫振荡（张弛振荡，relaxation oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象；同时，也开创了“非线性震荡”的系统性研究方法，范德珀尔在研究此系统中引入了平均法，他与Van der Mark 于1927年在《Nature》上发表了关于“不规则噪声”的报告，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一；此外，该发现还间接催生了后续混沌理论的诞生。