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'''第二递归定理（日常语言版）'''：''对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。'' 用符号写就是：<math>\phi_c = \phi_{f(c)}</math>。<ref name="rogers1967" />

'''第二递归定理（日常语言版）'''：''对任何可计算的全函数 <math>f</math>（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 <math>c</math>，使得执行 <math>c</math> 的效果，等同于执行 <math>f(c)</math>——即 <math>f</math> 拿着 <math>c</math> 自己的源代码算出来的那个程序。'' 用符号写就是：<math>\phi_c = \phi_{f(c)}</math>。<ref name="rogers1967" />

'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。'' 换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />

'''第一递归定理（日常语言版）'''：''任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 <math>fac(n) = n\cdot fac(n−1)</math>）——都必然有解'' ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，'''机械式的递归定义永远合法、永远有解'''。<ref name="rogers1967" />

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：

第二递归定理被 [[Yiannis N. Moschovakis|Moschovakis]] 称为 '''"令人惊叹的"（amazing）'''——他的综述标题就叫 ''Kleene's Amazing Second Recursion Theorem''<ref name="moschovakis2010" />；计算机科学家 Neil Jones 称之'''"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）'''〔转引自 Kiselyov, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 [[哥德尔|Gödel]] 不完备定理到[[序数]]理论、从程序自复制到有效[[描述集合论]]的庞大理论大厦（详见第五、六节）。

第二递归定理被 [[Yiannis N. Moschovakis|Moschovakis]] 称为 '''"令人惊叹的"（amazing）'''——他的综述标题就叫 ''Kleene's Amazing Second Recursion Theorem''<ref name="moschovakis2010" />；计算机科学家 Neil Jones 称之'''"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）'''〔转引自 Kiselyov, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 [[哥德尔|Gödel]] 不完备定理到[[序数]]理论、从程序自复制到有效[[描述集合论]]的庞大理论大厦（详见第五、六节）。

== 预备知识：读懂本词条所需的全部概念 ==

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