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| | ==物理意义与动力学行为== | | ==物理意义与动力学行为== |
| | + | [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子相图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子振动相图|替代=|282x282像素]] |
| | + | [[文件:不同起振点的范德珀尔振子.png|缩略图|同一阻尼系数，不同起振点的范德珀尔振子收敛于同一极限环|替代=|286x286像素]] |
| | 范德珀尔振子作为一个非线性振荡系统，由于中间阻尼项的调节作用，使之在线性振动的基础上，产生了复杂的动力学特性，其动力学特性和能量流动规律与阻尼系数和振幅等参数密切相关，在临界点会发生动力学的演化和能量流向的改变。 | | 范德珀尔振子作为一个非线性振荡系统，由于中间阻尼项的调节作用，使之在线性振动的基础上，产生了复杂的动力学特性，其动力学特性和能量流动规律与阻尼系数和振幅等参数密切相关，在临界点会发生动力学的演化和能量流向的改变。 |
| | ===阻尼参数不同时的振动性质=== | | ===阻尼参数不同时的振动性质=== |
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| | （3）当 [math]\displaystyle{ \mu \gg 1 }[/math] 时：非线性很强，系统表现出松弛震荡（Relaxation Oscillation）。波形不再是正弦波，而是呈现"缓慢充电、快速放电"的锯齿状或脉冲状特征，最终也将收敛于一个极限环。这在生物[[神经元]]的[[动作电位]]模型中非常常见。 | | （3）当 [math]\displaystyle{ \mu \gg 1 }[/math] 时：非线性很强，系统表现出松弛震荡（Relaxation Oscillation）。波形不再是正弦波，而是呈现"缓慢充电、快速放电"的锯齿状或脉冲状特征，最终也将收敛于一个极限环。这在生物[[神经元]]的[[动作电位]]模型中非常常见。 |
| − | [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子相图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子振动相图]]
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| − | [[文件:不同起振点的范德珀尔振子.png|缩略图|同一阻尼系数，不同起振点的范德珀尔振子收敛于同一极限环]]
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| | ===位移不同时的能量传递=== | | ===位移不同时的能量传递=== |
| − | [[文件:阻尼系数不同时的范德珀尔振子位移随时间变化图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子位移随时间变化图]]
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| | [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图]] | | [[文件:阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图.png|缩略图|阻尼系数不同的范德珀尔振子机械能随时间变化图]] |
| | 在阻尼系数一定时，系统的能量调节机制完全取决于位移 x 的大小：如在阻尼系数为正的条件下，当位移较小（|x| < 1）时，总阻尼项为负，系统注入能量（[[负阻尼]]发散）；当位移较大（|x| > 1）时，总阻尼项为正，系统[[耗散]]能量（正阻尼收敛）<ref name="Strogatz_Example_7.3.1" />。 一个非线性振动周期中，振子位移大小的变化时周期波动的，当阻尼系数为正时，这种机制最终使系统收敛于唯一极限环，从而实现近似正弦振荡或自激振荡。它是解释[[霍普夫分岔]]产生极限环现象的典型模型。 | | 在阻尼系数一定时，系统的能量调节机制完全取决于位移 x 的大小：如在阻尼系数为正的条件下，当位移较小（|x| < 1）时，总阻尼项为负，系统注入能量（[[负阻尼]]发散）；当位移较大（|x| > 1）时，总阻尼项为正，系统[[耗散]]能量（正阻尼收敛）<ref name="Strogatz_Example_7.3.1" />。 一个非线性振动周期中，振子位移大小的变化时周期波动的，当阻尼系数为正时，这种机制最终使系统收敛于唯一极限环，从而实现近似正弦振荡或自激振荡。它是解释[[霍普夫分岔]]产生极限环现象的典型模型。 |
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| | 这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。 | | 这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。 |
| − | 然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统中泵送能量一样，当电流过高时，半导体会抑制系统的能量。能量注入和能量吸收之间的相互作用导致电压和电流的周期性振荡。半导体的作用由函数 [math]\displaystyle{ I^2 - \alpha }[/math] 所刻画，其中 \alpha 是电流的阈值水平，电流的方程变成下式： | + | 然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统 |
| − | | |
| − | [math]\displaystyle{ L I' + (I^2 - \alpha)I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]
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| − | 为了简单起见，我们假设没有外部电压源。通过取方程两侧的导数，我们确实得到了范德珀尔振子的方程：
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| − | [math]\displaystyle{I" - \frac{\alpha}{L}\left(1 - \frac{3}{\alpha}I^2\right)I' + \frac{1}{LC}I = 0}[/math]
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| − | 自引入以来，范德波尔方程一直被用作物理学、电子学、生物学、神经学、社会学和经济学中振荡过程的基本模型。该模型很快被推广为受迫范德珀尔振子系统。
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| − | =延伸=
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| − | ==受迫范德珀尔振子==
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| − | 当方程右边不为0的时候，即系统受到[[外部激励]]（External Excitation）时，则成为受迫范德珀尔振子（Forced Van der Pol oscillator）：
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| − | [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = F \cos(\omega t) }[/math]
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| − | 其中F是正弦驱动函数的振幅，ω是其角频率。此系统经历一系列分岔（Bifurcation）过程，这个系统从稳定的极限环走向混沌。
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| − | （注：受迫范德珀尔振子因引入时间维度而升维至三维及以上，打破了[[庞加莱-本迪克松定理]]的限制，从而触及混沌理论的层次。）
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| − | ==霍普夫分叉==
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| − | 当\mu从小于零移动到大于零时，原点的螺旋汇变成了螺旋源，一个极限周期骤然出现，半径为2。这是因为过渡不是通用的：当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时，微分方程变成线性，原点变成[[中心]]（Center）（而非节点）。
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| − | 在霍普夫分叉中，极限环应当具有正比于 [math]\displaystyle{ \varepsilon^{1/2} }[/math] 的振幅，现令 [math]\displaystyle{ \varepsilon = \mu }[/math]，我们可能会尝试使用变量的变化 [math]\displaystyle{ u = \mu^{1/2} x }[/math] 将范德珀尔振子转换为霍普夫分叉，得到：
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| − | [math]\displaystyle{ \ddot{u} + u + u^2 \dot{u} - \varepsilon \dot{u} = 0 }[/math]
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| − | 此式即为一个霍普夫分叉的模型<ref name="Strogatz_Example_8.4.1" />。
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| − | ==量子物理领域——范德珀尔振子的[[哈密顿量]]==
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| − | 人们还可以为范德波尔振荡器编写一个与时间无关的哈密顿形式，方法是使用辅助二阶非线性微分方程将其增强为四维自主[[动力系统]]，如下所示：
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| − | [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu(1 - x^2)\dot{x} + x = 0 }[/math]
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| − | [math]\displaystyle{ \ddot{y} + \mu(1 - x^2)\dot{y} + y = 0 }[/math]
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| − | | |
| − | 请注意，由于x和y变量的时间演变之间的单向耦合，原始范德波尔振荡器的动力学不受影响。可以通过这个方程组的哈密顿函数H证明<ref name="Shah_Conservative_perturbation_theory_for_nonconservative_systems" />：
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| − | [math]\displaystyle{ H(x, y, p_x, p_y) = p_x p_y + xy - \mu (1 - x^2)y p_y }[/math]
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| − | 其中 [math]\displaystyle{ p_x = \dot{y} + \mu(1 - x^2)y }[/math] 和 [math]\displaystyle{ p_y = \dot{x} }[/math] 分别是对应于x和y的共轭矩。原则上，这可能会导致范德波尔振荡器的量子化，这样的[[哈密顿量]]也将具有时间依赖参数的极限周期系统的[[几何相位]]与相应的哈密顿量系统的[[汉奈角]]连接起来<ref name="Chattopadhyay_Finding_the_Hannay_angle" />。
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| − | ===关于量子振荡器===
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| − | 量子范德波尔振荡器是经典范德波尔振荡器的量子力学版本，使用[[林德布拉德方程]]来研究其量子动力学和[[量子同步]]<ref name="Chia_Relaxation_oscillations_and_frequency_entrainment_in_quantum_mechanics" />。请注意，上述具有辅助二阶方程的哈密顿方法产生无界[[相空间]]轨迹，因此无法构造物理上允许的束缚态，不能直接用于量子化范德波尔振荡器。在弱非线性极限（即 [math]\displaystyle{ \mu \to 0 }[/math]）中，范德波尔振荡器简化为[[Stuart-Landau方程]]。[[Stuart-Landau方程]]实际上描述了弱非线性极限中的一整类极限周期振荡器。经典Stuart-Landau方程的形式要简单得多，可以用[[Lindblad方程]]量化。
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| − | 量子Stuart-Landau模型在量子[[同步]]研究中发挥了重要作用<ref name="Walter_Quantum_Synchronization_of_a_Driven_Self-Sustained_Oscillator" /><ref name="Lee_Quantum_Synchronization_of_Quantum_van_der_Pol_Oscillators_with_Trapped_Ions" />。经典Stuart-Landau模型（[math]\displaystyle{ \mu \to 0 }[/math]）与更一般的极限周期振荡器（任意\mu）之间的关系也在相应的量子模型中进行了数值证明。
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| − | 然而，上述借助辅助变量构建哈密顿量的方法虽在数学上具有巧思，却止步于量子化的物理门槛——其产生的无界相空间轨迹无法构造物理上允许的束缚态。这恰恰揭示了经典非保守系统（如范德波尔振子）量子化的本质困难：系统因非线性阻尼与外界环境存在持续的能量交换，必须将其视为一个[[开放量子系统]]。
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| − | 要跨越这一鸿沟，理论物理学家转向了Lindblad主方程形式，通过引入增益和耗散两个独立的退相干通道，成功构建了量子范德珀尔振子的标准模型。近年来，随着[[离子阱]]、[[超导电路]]等量子模拟平台的飞速发展，该理论模型终于得以在实验室中精确"搭建"<ref name="Chia_Relaxation_oscillations_and_frequency_entrainment_in_quantum_mechanics" />。
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| − | 2025年，中国科学技术大学林毅恒教授团队联合深圳大学及德国斯图加特大学等机构的研究人员，基于上述[[开放量子系统]]的理论框架，首次在离子阱实验中实现了量子范德珀尔振子。相关成果于2025年10月10日发表在国际学术期刊《Science Advances》上，演示了[[量子极限环]]的形成、[[量子同步]]及其增强等非经典行为<ref name="CAS_cn_2025_van_der_Pol" />。
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| − | =应用与实例=
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| − | ==电子电气领域==
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| − | 范德珀尔振子在电子电气领域有着广泛而根基性的应用。其核心的极限环和非线性阻尼特性直接对应于含[[负阻]]元件的振荡电路行为。例如，在使用真空管的早期电路中，当系统在极限环附近受到外部周期信号驱动时，振荡频率会被"拖入"驱动信号的频率，两者形成[[同步]]——这一现象被称为[[频率牵引]]或[[注入锁定]]。
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| − | 范德珀尔方程最初即源于对含非线性负阻元件（真空管、隧道二极管等）的LC振荡电路的分析。方程中的非线性阻尼项精确描述了负阻元件的电流-电压特性——小信号时呈现负电阻（注入能量），大信号时呈现正电阻（耗散能量），这正是电子管放大电路能够产生稳定正弦波振荡的物理机制。范德珀尔模型已被证明是分析现代RC振荡器的通用振荡器模型。在CMOS纳米技术中，范德珀尔参数与多种电路实现之间的对应关系也已得到系统阐述。[[注入锁定]]的范德珀尔振荡器可以用简单的现代半导体电路实现。
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| − | ==生物医学领域==
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| − | 范德珀尔振子的极限环概念精准对应于心脏[[窦房结]]（SA node）和[[房室结]]（AV node）等天然起搏器的自发节律放电。范德珀尔和van der Mark早在1928年即于《Philosophical Magazine》发表了题为"The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart"的论文，建立了心脏的电子电路模型，将心跳视为松弛震荡<ref name="Van_Der_Pol_Van_Der_Mark_The_heartbeat_considered_as_a_relaxation_oscillation" />。
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| − | 此后，改良的范德珀尔振荡器被广泛用于模拟心脏起搏器的[[动作电位]]时序。Grudziński与Żebrowski在2004年设计了修正的范德波尔振荡器模型，通过在经典范德波尔振荡器的相空间中增加一个鞍点和一个节点，并引入非对称阻尼项，使得起搏节点的放电频率可在不改变[[不应期]]长度的条件下独立调节<ref name="Grudzinski_Zebrowski_Modeling_cardiac_pacemakers_with_relaxation_oscillators" />。
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| − | 在神经科学中，FitzHugh于1961年将范德珀尔方程与[[Hodgkin-Huxley模型]]结合，提出了[[FitzHugh-Nagumo模型]]（亦称[[Bonhoeffer-van der Pol模型]]）<ref name="Fitzhugh_Impulses_and_physiological_states_in_theoretical_models_of_nerve_membrane" />。该模型的相平面中存在一个稳定的极限环，对应于[[神经元]]的周期性脉冲发放。研究表明，FitzHugh-Nagumo方程可以在很好的近似程度上被约化为一个受外部电流驱动的广义范德珀尔振荡器。
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| − | ==催生混沌理论的诞生==
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| − | 范德珀尔振子及受迫范德珀尔振子呈现的分叉性质，为最初被人类观测到的混沌现象之一，叩开了混沌世界的大门。1945年英国数学家卡特赖特（M.Cartwright）和李特伍德（J.Littlewood）在对受迫范德珀尔振子的研究中，在理论层面首次证明受迫范德珀尔方程存在奇异解，预示了混沌的可能性<ref name="Cartwright_Littlewood_On_non-linear_differential_equations_of_the_second_order" />。随后，日本学者上田睆亮（Ueda Yoshisuke）于1961年首次在模拟计算机上观察到混沌[[吸引子]]<ref name="Hayashi_Shibayama_Ueda_Quasi-periodic_Oscillations_in_Self-oscillatory_Systems_with_External_Force" />，随着后续研究的深入，混沌理论的面纱也逐渐被科学家们所揭晓。
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| − | =参考文献=
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| − | <ref name="Gerard-Lescuyer_Sur_un_paradoxe_electrodynamique">Gerard-Lescuyer, J. M. A. (1880). Sur un paradoxe électrodynamique.</ref>
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| − | <ref name="Nature_Musical_Arcs">Musical Arcs. (1901). Nature, 63(1640), 542–543.</ref>
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| − | <ref name="De_Forest_The_Audion">De Forest, L. (1906). The Audion: A New Receiver for Wireless Telegraphy. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers.</ref>
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| − | <ref name="Van_Der_Pol_A_theory_of_the_amplitude_of_free_and_forced_triode_vibrations">Van der Pol, B. (1920). A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations. Radio Review, 1, 701-710.</ref>
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| − | <ref name="Van_Der_Pol_Van_Der_Mark_Frequency_demultiplication">Van der Pol, B., & Van der Mark, J. (1927). Frequency demultiplication. Nature, 120(3019), 363-364.</ref>
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| − | <ref name="Strogatz_Example_7.3.1">Strogatz, S. H. (2019). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2nd ed.). CRC Press. (Example 7.3.1)</ref>
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| − | <ref name="Strogatz_Example_8.4.1">Strogatz, S. H. (2019). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (2nd ed.). CRC Press. (Example 8.4.1)</ref>
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| − | <ref name="Chia_Relaxation_oscillations_and_frequency_entrainment_in_quantum_mechanics">Chia, A., Kwek, L. C., & Noh, C. (2020). Relaxation oscillations and frequency entrainment in quantum mechanics. Physical Review E, 102(4), 042213.</ref>
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| − | <ref name="Walter_Quantum_Synchronization_of_a_Driven_Self-Sustained_Oscillator">Walter, S., Nunnenkamp, A., & Bruder, C. (2014). Quantum Synchronization of a Driven Self-Sustained Oscillator. Physical Review Letters, 112(9), 094102.</ref>
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| − | <ref name="CAS_cn_2025_van_der_Pol">量子范德珀尔振子首次在离子阱实验中实现. Retrieved from https://www.cas.cn/syky/202510/t20251014_5085221.shtml</ref>
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| − | <ref name="Van_Der_Pol_Van_Der_Mark_The_heartbeat_considered_as_a_relaxation_oscillation">Van der Pol, B., & Van der Mark, J. (1928). LXXII. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 6(38), 763-775.</ref>
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| − | <ref name="Fitzhugh_Impulses_and_physiological_states_in_theoretical_models_of_nerve_membrane">Fitzhugh, R. (1961). Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical Journal, 1(6), 445-466.</ref>
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| − | <ref name="Cartwright_Littlewood_On_non-linear_differential_equations_of_the_second_order">Cartwright, M. L., & Littlewood, J. E. (1945). On non-linear differential equations of the second order: I. The equation \ddot{y} - k(1 - y^2)\dot{y} + y = b\lambda k \cos(\lambda t + a), k large. Journal of the London Mathematical Society, 20(3), 180-189.</ref>
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| − | <ref name="Hayashi_Shibayama_Ueda_Quasi-periodic_Oscillations_in_Self-oscillatory_Systems_with_External_Force">Hayashi, C., Shibayama, H., & Ueda, Y. (1961). Quasi-periodic Oscillations in Self-oscillatory Systems with External Force. IECE Technical Report, Nonlinear Theory.</ref>
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范德珀尔振子是非线性动力学中的一个典型自激振荡模型由荷兰物理学家在研究真空电子管振荡电路时提出，核心数学模型为一个二阶非线性阻尼振子模型，由阻尼系数不同，产生震荡的不同动力学特性，同时，因振幅不同，阻尼的正负性、敛散性也出现差异，即出现分岔现象。
在动力学理论中，该模型可进一步延伸为非齐次的受迫范德珀尔振子及量子振荡器的模型。该模型作为典型的非线性动力学模型，也在机械振动、电子电器、生物医学等领域中广泛应用，此外，对受迫范德珀尔振子的深入研究也促进了混沌理论的诞生和发展。
概述及历史背景
范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是非线性动力学中最经典、最具代表性的自激振荡模型之一。它通过一个简明的二阶非线性微分方程，特别是其中关键的振幅相关非线性阻尼项，就能够展示线性振子所没有的稳定极限环、振幅不同而产生的分岔及其能量流向、自激振荡以及随非线性增强而出现的松弛震荡（亦称弛豫振荡）等核心非线性现象，因此常被视为理解极限环理论和非线性振荡的"原型系统"。
这一模型的诞生有着深刻的时代背景。19世纪末20世纪初，随着动力学理论与电子电气技术的持续发展，1880年Gérard-Lescuyer的串联电机[1]、1901年Duddell的音乐电弧[2]以及1907年de Forest发明的真空三极管[3]等装置，都展示了"自激振荡"现象。然而，面对这些自激振动现象，传统线性振动理论无法解释极限环及分岔现象，传统摄动分析方法也面临级数发散问题，始终缺失解释不同自激振动现象的统一理论体系。
在此背景下，时任飞利浦公司电气工程师的荷兰物理学家巴尔塔萨·范德珀尔（Balthasar van der Pol）于1920年采用非线性动力学分析方法，引入非线性阻尼概念，提出了这一二阶非线性模型[4]。该模型最初用于描述早期无线电设备中三极管电路的自持振荡现象，是首个被深入研究的"自激振荡"非线性模型。范德珀尔在研究该系统时开创性地提出了松弛震荡（张弛振荡，Relaxation Oscillation）这一概念，并系统阐述了此现象，同时开创了"非线性振荡"的系统性研究方法。他与Van der Mark于1927年在《Nature》上发表了关于"不规则噪声"的报告[5]，后被公认为混沌现象最早的实验观察之一，间接催生了后续混沌理论的诞生。
后来人们发现，这种机制并不局限于电子电路，而广泛出现在生物节律、神经活动、心脏起搏、机械振动等系统中，因此范德珀尔振子也成为从具体物理问题走向一般非线性动力学理论的一个标志性模型。
作为一个非保守非线性振荡器，范德珀尔振子的基本模型为一个二阶非线性微分方程：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0 }[/math]
其中 μ 为非线性阻尼系数，中间的非线性阻尼项 -μ(1-x^2)ẋ决定了系统的全部动力学特性，该模型将线性理论、分岔理论、极限环、快慢动力学乃至混沌的边缘整合了起来，实现了由传统线性振荡理论向非线性动力学、乃至于混沌理论的飞跃。
主要内容
数学模型
范德珀尔振子（Van der Pol oscillator）是研究极限环非线性系统的经典实例。作为一个耗散性非线性振荡系统，其数学模型为一个二阶非线性齐次方程：
[math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu > 0 }[/math]
其中 x 为位置坐标（作为时间 t 的函数），μ 是标量参数，二者决定阻尼的非线性和强度。
也可写为二维状态空间方程组的形式：
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu(1 - x^2)y - x. \end{cases} }[/math]
其中：
（1）x 是位移（或电压等物理量）。
（2）[math]\displaystyle{y = \dot{x} } [/math]是速度，[math]\displaystyle{\dot{y} = \ddot{x} } [/math] 是加速度。
（3）μ 是非线性阻尼参数（μ≥0），控制着非线性效应的强弱。
当方程左侧为0的时候，模型为自由范德珀尔振子，不受外界噪声干扰，当μ的符号不同时，系统出现分岔现象，如当μ为正时，初始态（起振点）不同的振子收敛于一个极限环，系统趋于一个非线性振动的稳定态，且μ的值越大，非线性越强，μ为0时，作为分岔临界点，系统退化为简谐振动，μ为负时，振子由不稳定极限环随机发散至其内外各处，系统进入一个“崩解”的不稳定态；当方程右侧不为0时，模型变为受迫范德珀尔振子，可进一步展示分岔、混沌等更复杂的非线性现象。
物理意义与动力学行为
同一阻尼系数，不同起振点的范德珀尔振子收敛于同一极限环
范德珀尔振子作为一个非线性振荡系统，由于中间阻尼项的调节作用，使之在线性振动的基础上，产生了复杂的动力学特性，其动力学特性和能量流动规律与阻尼系数和振幅等参数密切相关，在临界点会发生动力学的演化和能量流向的改变。
阻尼参数不同时的振动性质
当阻尼系数非负时，范德珀尔振子经过分岔形成极限环，系统的动力学特性与在非线性阻尼参数不同时，存在以下三种情况，分别对应模型非线性的不同强度，且这三种情况，随着阻尼系数的增加，极限环的非线性动力学特征也在不断增强：
（1）当 [math]\displaystyle{ \mu = 0 }[/math] 时：方程退化为简谐振荡器 [math]\displaystyle{ \ddot{x} + x = 0 }[/math]，系统做等幅正弦振荡，作为一个保守系统，没有能量耗散也没有能量注入。
（2）当 [math]\displaystyle{ 0 < \mu \ll 1 }[/math] 时：非线性较弱，系统表现出接近正弦波的振荡，但振幅会缓慢调整，最终稳定在一个极限环上。
（3）当 [math]\displaystyle{ \mu \gg 1 }[/math] 时：非线性很强，系统表现出松弛震荡（Relaxation Oscillation）。波形不再是正弦波，而是呈现"缓慢充电、快速放电"的锯齿状或脉冲状特征，最终也将收敛于一个极限环。这在生物神经元的动作电位模型中非常常见。
位移不同时的能量传递
在阻尼系数一定时，系统的能量调节机制完全取决于位移 x 的大小：如在阻尼系数为正的条件下，当位移较小（|x| < 1）时，总阻尼项为负，系统注入能量（负阻尼发散）；当位移较大（|x| > 1）时，总阻尼项为正，系统耗散能量（正阻尼收敛）[6]。 一个非线性振动周期中，振子位移大小的变化时周期波动的，当阻尼系数为正时，这种机制最终使系统收敛于唯一极限环，从而实现近似正弦振荡或自激振荡。它是解释霍普夫分岔产生极限环现象的典型模型。
模型的推导过程
我们可通过如下步骤来探究[7]：考虑如图所示的RLC电路：它由电感L、电容器C、电阻R组成，我们假设电压源是电池（[math]\displaystyle{ E(t)=E }[/math]常数）。当电池开关关闭时，根据基尔霍夫电压定律：
[math]\displaystyle{ L I' + R I + \frac{1}{C} Q = E }[/math]
电路中开始流动电流 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math]，其中Q作为电容器中的电荷，其一阶导数等于I。如果我们对等式两边求导，我们将得到式：
[math]\displaystyle{L\frac{d^2I}{dt^2} + R\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}I = 0}[/math]
这是一个具有恒定系数的二阶线性常微分方程，它表示一个阻尼谐波振荡器。
然而，范德珀尔考虑的电路显示的是有源元件（真空管阵列-半导体），而不是无源电阻。通过这种方式，当电流低时，半导体就像在系统
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