渗流理论

介绍

渗流模型是最简单的相变模型之一。与常见的热力学相变（如气液相变，铁磁相变等）不同的是，渗流模型描述的是反映网络连通性变化的几何相变。渗流理论研究的是随机图上簇的性质。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有n × n × n个格点的三维网格模型，相邻格点的边有p的概率是连接的，有(1-p)的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当n很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的p的范围。这一p的下界，pc，称为渗流阈值（临界点）。

图片：未发生渗流和发生渗流的对比

在相变的临界点附近，系统的许多宏观量表现出标度行为（也就是说，很多量之间的关系可以用幂律来刻画），比如Ising模型中，外场为0的情况下，单位磁化强度对相对温度的依赖关系可以用幂律刻画$m(T, 0) \sim(-t)^{\beta}, \quad t<0$，其中$t=\frac{T-T_c}{T_c}$。渗流模型在临界点附近还具有分型特征，定义在渗流模型上的大团簇是一个分形几何体，具有自相似性，可以用分形维数加以描述。分形几何体的测度值y（如曲线长度、面积）和测量的精度x具有如下关系$=y \sim x^{-D}$，其中$D$就是就是分形维数。可以看到分形几何体的测度值也遵循标度行为。

长时间以来，科学家们苦于没有适合研究临界现象的称手的工具，从无数相变模型没有精确解或者没有高维度下的精确解可见一斑。重整化方法是发现于20世纪70年代一种非常新而且意味深刻的研究方法。它最早诞生于量子场论，引入到临界现象领域的研究后，竟被发现相当好用。虽然重整化方法在临界现象领域只是一种近似方法，但是它能给出许多模型相当精确的解。我们都知道，物理研究客观世界的标准做法就是研究系统物理量关于时空的演化方程$x=f(r,t)$；但是重整化方法却开辟了一条新的路，针对处于临界状态下的系统来说，我们并不关心系统随时空如何变化，而是给出某个物理量随着它的标度如何变化$x=f(s)$，这里的$s$就是研究这个系统的标度。因此，按照Nottle的标度相对论的做法，标度s应该被视为与时间、空间同等重要的一种全新的基本维度。了解重整化群有助于加深我们对临界现象的理解。

渗流模型与其他很多模型（如Ising模型，Potts模型等）相关联，从渗流模型中我们可以直观地了解关于分形，标度理论，重整化群的概念，这些概念在其他领域（如物理学，生物学，复杂系统等）同样十分重要。因此渗流模型不失为入门相变与临界现象的经典案例。

基本概念

接下来介绍渗流模型最基本的一些概念。渗流主要形式有两种，分为点渗流和边渗流，之后的所有内容均针对点渗流。

渗流模型需要一个载体，这样的载体可以是规则的网络（立方晶格，三角晶格，Bethe晶格等），也可以是不规则的网络(E-R网络等)。网络上的格点以p的概率生成，（1-p）的概率不生成，不同格点的生成与否，是相互独立的事件。生成概率p称为模型的凝聚度。

图片：不同的网络

定义簇的概念：一个簇是最近邻生成点的集群。网络上可以有许多簇，簇的数量及其性质是渗流理论研究的主要对象。网络上的簇大小不一，存在一个分布，在考虑分布的具体形式之前，我们先定义单位格点上大小为s的簇的平均数目：$n_s(p)$，这样定义这样既可以方便地求出$L^d$的立方晶格上大小为s的簇数目$n_s(p)\times L^d$，又可以使这个量不依赖于L。

图片：簇的概念

根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作$pc$。临界点处的渗流模型，簇的大小分布具有标度行为

图片：临界点处簇的大小分布

到目前为止，二维及以上的点渗流模型和三维及以上的边渗流都没有精确解，只有某些特殊的网络结构下的渗流才有精确解，其中一维晶格的精确解（点渗流，边渗流均）为$p_c=1$，这是一个平凡解，Bethe晶格的精确解为$\frac{1}{z-1}$，其中z是每个顶点临近的顶点数。

表格：不同网络上临界点的值

一维渗流模型上的渗流

一维渗流模型具有精确解，虽然这个精确解是平凡的，但是其分析思路不失一般性。所以这里我们通过计算一维晶格上的临界点和簇分布来分析渗流的临界点以及展现簇分布的标度行为。

图片：一维晶格

考虑一个包含L个顶点的一维晶格。根据零一率，我们可以写出一维晶格上发生渗流的概率为 $$ \lim_{L to \infty} P(p,L) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { for } p < p_{c} \\ 1 & \text { for } p \geq p_{c} \end{array}\right. $$ 对于一维晶格，要发生渗流，需要每一个点都生成。也就是渗流阈值就是$p_c = 1$ $$ \lim_{L to \infty} P(p,L) = \lim_{L to \infty} p^L = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { for } p < 1 \\ 1 & \text { for } p \geq 1 \end{array}\right. $$ 现在进一步考虑簇的形成。针对一维晶格上的任意一个点，它的右边出现一个大小为s的簇的概率为 $$ n_{s}(p)=(1-p) p^{s}(1-p)=(1-p)^{2} p^{s} $$ 这个等式表示，一个大小为s的簇，其左右两端点必须为非生成点，内部必须全部为生成点。进一步我们将这个形式改写为标度形式 $$ \begin{aligned} n_{s}(p) &=(1-p)^{2} p^{s} \\ &=(1-p)^{2} \exp \left(\ln \left(p^{s}\right)\right) \\ &=(1-p)^{2} \exp (s \ln (p)) \\ &=\left(p_{c}-p\right)^{2} \exp \left(-\frac{s}{s_{\xi}}\right) \end{aligned} $$ 其中$s_{\xi}=\frac{-1}{\ln (p)}$称为相关尺寸（cutoff），在$p to p_c$时，相关尺寸有如下近似 $$ s_{\xi}=\frac{-1}{\ln \left(p_{c}-\left(p_{c}-p\right)\right)} \rightarrow \frac{1}{p_{c}-p}=\left(p_{c}-p\right)^{-1} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c} $$ 即$s_{\xi}$是随着$p$趋近于$p_c$指数发散的，式中的1（不是-1）称为$s_{\xi}$的临界指数，描述了临界点附近，相关尺寸以哪种程度发散。更一般的，对仍以网络都有 $$ s_{\xi} \propto\left|p_{c}-p\right|^{-\frac{1}{\sigma}} \quad \text { for } p \rightarrow p_{c} $$ 其中$\sigma$是所有网络上的相关尺寸的临界指数，不同的网络可能具有同样的临界指数，临界指数反应了临界现象的普适性。$\exp (-\frac{s}{s_{\xi}})$反映了簇大小分布在临界点处的标度行为，簇的数目随着其尺寸的增大而指数下降。