“约翰·何顿·康威 John Horton Conway”的版本间的差异

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应用与计算数学约翰·冯·诺伊曼教授 John von Neumann Professor，荣誉退休
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应用与计算数学约翰·冯·诺伊曼教授(John von Neumann Professor)，荣誉退休
 
  
 
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2020年5月18日 (一) 22:56的版本

约翰·何顿·康威 John Horton Conway [1]（生于1937年12月26日，于2020年4月11日在普林斯顿去世）是一位活跃于有限群 finite groups理论的英国数学家，纽结理论 knot theory，数论 number theory，组合博弈论 combinatorial game theory和编码论 coding theory。 他还为趣味数学 recreational mathematics的许多分支做出了贡献，其中最著名的是元胞自动机 Cellular Automata的发明，康威的生命游戏 Conway's Game of Life。


他职业生涯的前半段是在英国剑桥大学度过的，后半段是在新泽西的普林斯顿大学，在那里他获得了约翰·冯·诺伊曼名誉教授的称号。 [2][3][4][5][6][7][8]2020年4月11日，他在新泽西州因为新型冠状病毒肺炎逝世了，享年82岁。


基本信息

J.H conway.jpg
类别 信息
姓名： 约翰·何顿·康威John Horton Conway
出生日期： 1937年12月26日
出生地： 英国默西赛德郡利物浦
国籍： 英国
居住地： 美国
母校： 剑桥大学
曾属机构： 应用与计算数学，普林斯顿大学
成就： 康威的生命游戏 Conway's Game of Life , 外观数列 Look-and-say sequence
主要研究方向： 有限群理论、纽结理论、数论、组合博弈论和编码理论

教育和早期生活

Conway的办公室，人称“不可救药的垃圾桶”。堆积如山的论文、书籍、笔记本、信件、模型、图表，发酸的牛奶、跑了味的咖啡，各种稀奇古怪的玩具，堆满了所有的桌子、椅子，甚至地上

康威于1937年12月26日出生在利物浦[9]，是西里尔 · 霍顿 · 康威 Cyril Horton Conway和艾格尼丝 · 博伊斯的儿子 Agnes Boyce。 [10][8]他很小的时候就对数学产生了兴趣。 4岁的康威就已经会背诵2的次方：[math]\displaystyle{ 2^0=1，2^1=2，2^2=4，…，2^{10}=1024,… }[/math]。在11岁时，他立志成为一名数学家。也就是从这个时候开始，同学们都是“教授”“叫兽”这样称呼他。


不过，天赋异禀的他，还是通过勤奋以及自己有意识地去锻炼他的数学思维。Conway在中学时期，为了增强自己的记忆力，曾去背诵圆周率[math]\displaystyle{ {\pi} }[/math]，一直到小数点后1000位。 增强记忆力，实际是为了提高自己的速算能力，据Conway后来回忆：“在那时候，如果问我651乘以347等于多少？我能在几秒之内提出正确的答案。”


除此之外，Conway还非常喜欢收集各种绳结来玩，后来，他在剑桥大学的时候还写了一篇绳结的重要数学论文，在他眼里，“绳结问题，本质上就是数学问题。”确实，绳结跟数学上的拓扑学及群论都息息相关。


从六年级毕业后，Conway 进入剑桥剑桥大学冈维尔与凯斯学院学习数学。 [10]Conway在学校时是一个“非常内向的青少年”，他将自己进入剑桥的机会解释为将自己转变为一个新人的机会：一个“外向的人”。[11][12]


1959年，他获得了文学硕士学位，并开始在哈罗德·达文波特 Harold Davenport的指导下进行数论研究。 Conway解决了达文波特提出的把数写成五次方和的公开问题（华林问题 Waring's problem ），然后康威开始对无穷序数感兴趣。 他对游戏的兴趣似乎始于他在剑桥大学数学荣誉学位考试学习 Cambridge Mathematical Tripos的那些年，在那里他成了一个狂热的西洋双陆棋 Backgammon爱好者，经常在公共休息室里玩几个小时的游戏。 他在1964年获得博士学位，并被任命为剑桥剑桥大学悉尼·萨塞克斯学院 Sidney Sussex College，Cambridge的学院研究员和数学讲师。学生们喜欢称他为“怪教授”。 因为这位披头散发、满脸络腮胡子的怪教授，上课一直很随意，想到哪就说到哪，喜欢什么就讲什么。下课在剑桥大学数学系教授的休息室里，人们会经常看到这位教授赤着脚，坐在地上，拿着纸和笔，在研究数学，实际上就是在玩数学游戏。如果这时某位学生或教授经过休息室，被康威发现的话，必定会被他拉着一起玩。不过，如此“怪异”的康威，在学生中的人气却挺高。他完全没有架子，和学生就像朋友一样，会跟学生们去酒馆喝酒、聊游戏、打弹球、谈人生、谈数学。


事实上，在剑桥大学任教初期，Conway经常会感到沮丧，因为他一直没有拿得出手的研究成果，他甚至怀疑自己做的是不是真的数学。


直到1965年，约翰·里奇 John Leech在研究装球问题时发现了一种24维的lattice，Conway觉得研究这个lattice的自同构群应该会非常有趣，不过，此时的Conway清楚自己的群论水平有限，于是他将这个问题告诉了很多群论方面的专家，然而，这并没有引起专家们的重视，最后，Conway只能靠自己慢慢深入研究了。2年后，Conway一举发现3个新的散见单群（不符合任何分类规则的群），后来称为“Conway群”，这项突破性的研究成果让当时从事有限群和数论的数学家都大为震惊，Conway也从此在数学界崭露头角。后来，Conway还对魔幻月光猜想中最大的散在群——“怪物群” Monster group进行了深入研究。


在玩数学游戏中，Conway发现了每一个实数都能对应一个游戏，相应地，实数的四则运算可以用游戏的语言来解释；此外还有许多游戏具有类似于实数的性质，却不对应实数。Conway就将游戏看做“数”，得到了实数的扩充——超现实数。而这一贡献也是Conway本人认为自己对数学最大的贡献。


在纽结理论方面，Conway提出了一种表示不同纽结的方法——基于亚历山大多项式的Conway多项式。除此之外，Conway还是组合博弈论的开创者之一。


1986年离开剑桥后，他被任命为约翰·冯·诺伊曼 John von Neumann 普林斯顿大学数学系主任。


Conway一生中发明了数以千计的游戏，其中绝大多数都是以数学有关，他玩起魔方来，连魔方的发明人、匈牙利的鲁比克先生都要退避三舍。Conway曾说他自己的一生都是在游戏中度过的，不过，对于游戏和消遣，他给后生们提出了这样一则忠告：Thou shalt stop worrying and feeling guilty. Thou shalt do whatever thou pleasest（无患无疚，毋宁逍遥）。


2020年4月12日，当代最有趣的数学家John Horton Conway，因为新冠肺炎逝世了，享年82岁。

康威生命游戏简介

Conway的人生游戏：单个的（细胞自动机）滑翔机枪

真正让Conway名震世界的还是他发明的游戏——生命游戏 Game of Life，《生命的游戏》是元胞自动机 Cellular Automata的早期范例之一。 早在个人电脑出现之前，他在这个领域的最初实验就是用纸和笔完成的。


这个"生命游戏"最早于1970年10月在《科学美国人 Scientific American》杂志中马丁·加德纳 Martin Gardner的"数学游戏"专栏出现[13]，一经发布，便瞬间风靡全球,它已经催生了数百个计算机程序、网站和文章。 [14]，美国军方的一份报告称，因为在工作时间偷偷观察生命游戏而造成的损失总计高达数百万美元。还有一份报告称，在70年代生命游戏风靡的时候，全世界大约有1/4的电脑都在运行这个游戏。


这是趣味数学的主要内容。 有大量的维基致力于策划和编目游戏的各个方面。 [15]从最早期开始，它就一直是计算机实验室的最爱，不仅因为它的理论趣味，还因为它是编程和数据显示方面的实践练习。[16] 康威有时说他讨厌生命游戏 ，很大程度上是因为它掩盖了他做过的其他一些更深刻、更重要的事情。 尽管如此，这个游戏确实帮助开创了数学的一个新分支——元胞自动机 Cellular Automata领域。[17]


众所周知，生命的游戏具有“图灵完备 Turing completeness”性。[18][19]


游戏规则

康威生命游戏

1、在一个格子世界里，每一个格子里最多可以长一个细胞。细胞根据规则，一代、一代地存活、繁殖或死亡；

2、每个细胞的存活或死亡规则：

  • 相邻的细胞等于2个或3个，将活到下一代；
  • 相邻的细胞大于或等于4个，将因为过度拥挤而死；
  • 相邻的细胞小于或等于1个，将由于孤独而死。
  • 任何已经死亡的网格，如果周围邻居存活数为3个，将重新复活。

Conway生命游戏python 实现

点击此处康威生命游戏python 实现下载:

效果展示

  • Conway随机初始条件
python conway.py
Conway随机初始条件
  • Conway滑翔机
python conway.py --glider
Conway滑翔机
  • Conway发射器
python conway.py --gosper
Conway发射器
  • 其他参数
地图大小
python conway.py --grid-size
输出位置
python conway.py --mov-file
刷新间隔（ms）
python conway.py --interval

主要研究领域

组合博弈论

Conway因其对组合博弈论 combinatorial games theory（CGT）的贡献而广为人知，这是一种党派博弈理论。他与 Elwyn Berlekamp 和 Richard Guy 共同发展了这一理论，并与他们合著了《数学游戏的制胜之道 Winning Ways for your Mathematical Plays》一书。他还写了CGT 的数学奠基之作——《关于数字和游戏 On Numbers and Games》(ONAG)。


他还是豆芽游戏 sprouts 和哲球棋 Phutball 的发明者之一。他给出了索马立方 Soma Cube 、孔明棋 Peg Solitaire 、康威的士兵 Conway's Soldiers 等许多其他游戏和谜题的详细分析。他提出了天使问题 Angel Problem ，该问题在2006年已获解答。


他创立了一种新的数字系统——超现实数 surreal numbers ，这些数字与某些游戏密切相关，并成为唐纳德·克努斯 Donald Knuth的数学中篇小说的主题。他还为大数发明了一种表示方法——康威链式箭号表示法 Conway chained arrow notation ，这个方法可以表示连高德纳箭号表示法都难以表示的数。


几何学

在20世纪60年代中期，Conway与迈克尔·盖伊 Michael Guy建立了64个凸均匀多面体 convex uniform polychora，其中不包括两个棱形无穷集。 他们在这个过程中发现了巨大的反棱镜，这是唯一的非维索菲安式均匀多面体 non-Wythoffian uniform polychoron 。此外，Conway创立了一个用于描述多面体的符号系统，称为康威多面体表示法 Conway polyhedron notation。


Conway提出了一种密铺数学理论——康威准则 Conway criterion，描述多边形可用来做平面镶嵌的条件[20]。


他研究了更高维度的晶格，并首次确定了利奇格 Leech lattice(24维欧几里得空间的一种双幺模晶格)的对称群。


几何拓扑学

在纽结理论中，Conway对亚历山大多项式 Alexander polynomial 的一个版本进行公式化，并产生了一个新的不变量——康威多项式 Conway polynomial [21]。在沉寂了十多年之后，这个概念在20世纪80年代成为新纽结多项式 knot polynomials 的核心。康威进一步发展了缠结理论 tangle theory ，并发明了一种描述纽结的符号系统——康威符号 Conway notation。


群论

怪物群

Conway是《有限群的阿特拉斯 ATLAS of Finite Groups》的第一作者（此书给出了许多有限简单群 finite simple groups 的性质）。他与同事罗伯特·柯蒂斯 Robert Curtis 和西蒙 · p·诺顿Simon P. Norton一起构建了一些散在群 sporadic groups 的第一个具体表述。具体来说，他根据利奇格 Leech lattice的对称性发现了三个散在群，它们被命名为康威群 Conway groups 。这项工作使他成为有限单群分类的关键人物。


1979年，Conway和西蒙·诺顿 Simon P. Norton提出怪兽月光理论 monstrous moonshine，表达了怪兽群 monster group 和模函数 modular functions 间的惊人关系，这一理论沟通了原本分立的有限群理论和复函数理论。怪兽月光理论现已经被发现与弦理论有着深刻的联系。


Conway引入了 Mathieu groupoid，它是由马蒂厄群[math]\displaystyle{ M_{12} }[/math] Mathieu group[math]\displaystyle{ M_{12} }[/math]扩展到13点而来。


注：“怪物群”是1980年由数学家罗柏·克里斯 R. Grìess发现的，Conway将这个群称为“怪物”：没有人能否认“怪物”是一个很引人的抽象结构。想像这是一个在196883维空间里的钻石，它有1054个转轴和旋转中心，而仍能显示其匀称和均致。


数论

1770年，华林发表了《代数沉思录 Meditationes Algebraicae》，其中说，每一个正整数至多是9个立方数之和；至多是19个四次方之和。还猜想，每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和，其中r依赖于k。

Conway在研究生时期证明了爱德华·华林 Edward Waring的这个猜想，即每个整数都可以写成37个数字的的五次方之和。（尽管陈景润在康威的著作出版之前独立地解决了这个问题）[22]


代数

哈曼顿回路：右边是一个正十二面体，每一个棱角处表示一个城市，本游戏的目的是实现哈曼顿环游；左边时哈曼顿回路的平面俯视图

代数方面，康威写过教科书，尤其是做过四元数 quaternions 和八元数 octonions 方面的原创性工作。他和尼尔·斯隆 Neil Sloane一起发明了曼哈顿回路 icosian。1857年， 哈密尔顿发明了游戏 Icosian Game，它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。在数学上，icosians 是哈密顿四元数的特殊集合，具有与600胞相同的对称性。


分析

Conway给出介值定理 intermediate value theorem 逆命题的一个反例——康威十三进制函数: 此函数满足强达布性质 Darboux property，但不是连续的。


算法

为了计算出某天是星期几，康威发明了末日规则 Doomsday rule 。它提供了一个万年历表 perpetual calendar，因为公历以400年的周期运动。


心算的末日算法是 John Conway 在1973年从 Lewis Carroll 的万年历表算法中得到灵感后设计的。 每年都有一个特定的日子，被称为世界末日，在这个日子上某些容易记住的日子会降临，例如，4 / 4,6 / 6,8 / 8,10 / 10,12 / 12，以及2月的最后一天，所有这些日子都发生在任何一年的一周的同一天。


应用末日算法涉及三个步骤: 确定本世纪的锚定日；从锚定日算起,计算该年的末日；从总是落在末日上的日期中选择最近的日期，例如，4 / 4和6 / 6，以及计算该日期与有关日期到达周日之间的天数(模数7)。


这个算法非常简单，任何一个有基本算术能力的人都可以心算得出答案。Conway通常能在两秒钟内给出正确答案。


Conway每天打开计算机时，屏幕上会随机显示十个日期，比如1789年7月14日，2037年12月26日等等，Conway则心算出这些日期分别是星期几，输入后才能进入电脑。他的最高纪录还不到20秒就算出了全部星期。


理论物理学

遇事不决，量子力学。这是很多人对量子力学的调侃，连爱因斯坦也说，他不相信上帝会掷骰子。爱因斯坦认为，量子力学背后还存在着某种“隐藏的变量”，这种所谓的“隐变量”是确定的。事后无数的实验证明了爱因斯坦是错的。而Conway用数学的方法证明了所谓自由意志定理，再次论证了“隐变量不存在”。自由意志定理指出：量子力学的测量结果无法通过实验之前的任何方法来确定。


用Conway的话来说：如果实验者有自由意志的话，那么基本粒子也是如此。


2004年，Conway和另一位普林斯顿的数学家 Simon B. Kochen 证明了自由意志定理 free will theorem [23]，这是量子力学的无隐变量 no hidden variables 原理一个惊人版本。它指出，在某些条件下，如果实验者可以自由决定在特定实验中测量什么量，那么基本粒子必须能够自由选择其自旋，以使测量结果与物理定律一致。康威挑衅性的措辞是: “如果实验者有自由意志，那么基本粒子也有。


即：如果人类拥有自由意志，则基本粒子也有。康韦等对自由意志的定义，主要指两层含义：

  1. 能在不同的可能性之中做出选择；
  2. 该选择不能由过去发生过的一切历史所决定。


也就是：即使掌握了整个宇宙过去所有的一切信息，也无法对该选择作出准确预测。


2009年，Conway发表了一个强自由意志定理[24]，2017年Kochen对一些细节作出一些改进[25]。


由于该定理适用于与任何一个和公理一致的物理理论，因此该定理不可以用特殊的方式将信息放入到宇宙的过去进行研究。 该论点来自于Kochen-Specker定理，该定理表明，任何关于自旋的单独测量结果都不是独立于测量选择而固定的。 正如Cator和Landsman关于隐藏变量理论所指出的那样[26]：“隐藏变量（相关因果关系），一方面应包括与实验有关的所有本体信息， 但另一方面，应该让实验者可以自由选择他们倾向的任何设置。”

荣誉奖项

  • 贝里克奖 Berwick Prize，1971年
  • 皇家学会院士 FRS，1981年
  • Pólya Prize(LMS，伦敦数学学会)首位获奖者，1987年
  • 内默斯数学奖 Nemmers Prize in Mathematics，1998年
  • 美国数学学会2000年数学博览会勒罗伊·P·斯蒂尔奖 Leroy P. Steele Prize
  • 英国数学协会荣誉会员，2017年

博士生导师

哈罗德·达文波特 Harold Davenport

学生

理查德·博赫兹 Richard Borcherds

罗伯特·威尔逊 Robert Wilson

就职企业、机构或院校

应用与计算数学约翰·冯·诺伊曼教授 John von Neumann Professor，荣誉退休

死亡

2020年4月8日，多年来一直与健康问题作斗争的康威，感染新型冠状病毒肺炎并开始发烧。 2020年4月11日，康威去世，享年82岁。

他人评价

  • 皇家学会前主席，也就是那位声称证明黎曼猜想的迈克尔·阿蒂亚爵士 Sir Michael Atiyah这样评价他：
康威是世界上最神奇的数学家。
  • 霍金对于生命游戏的评价：
史蒂芬·霍金在他的《大设计》一书中说：
“我们可以想象，像生命游戏这样的东西，只有一些基本规律，可能会产生高度复杂的功能，甚至是智能。它可能需要包含数十亿个正方形的网格，但这并不奇怪。我们的大脑中有数千亿个细胞。”

著作

  • Regular Algebra and Finite Machines, Chapman and Hall, Ltd. London, 1971.
  • All Numbers Great and Small, Research Paper No. 149, Calgary, Alberta, Canada: The University of Calgary, Dept. of Mathematics and Statistics, 1972.
  • All Games Bright and Beautiful, Research Paper No. 295, Calgary, Alberta, Canada: The University of Calgary, Dept. of Mathematics and Statistics, 1975.
  • On Numbers and Games, London Mathematical Society Monographs, No. 6, Academic Press, London-New-San Francisco, 1976.
  • (with E.R. Berlekamp and R.K. Guy), Winning Ways, for Your Mathematical Plays, Vol. 1: Games in General, Vol. 2: Games in Particular, New York-London: Academic Press, 1982, ISBN 0120911027, Paperback (August, 1982), Academic Press, ISBN 0120911027.
  • (with R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker and R.A. Wilson), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups, Oxford, Clarendon Press, New York, Oxford University Press, 1985.
  • (with N.J.A. Sloane), Sphere Packings, Lattices, and Groups, (with additional contributions by E. Bannai, J. Leech, S.P. Norton, A.M. Odlyzko, R.A. Parker, L. Queen and B.B. Venkov), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 209, Springer-Verlag, New York, 1988, ISBN 0-387-96617-X, Russian Translation: Mir, Moscow, 1990, 2nd edition 1993, ISBN 0-387-97912-3, 3rd edition 1998, ISBN 0-387-98585-9.
  • (with R.K. Guy), The Book of Numbers, Copernicus. An Imprint of SpringerVerlag, New York, 1996, ISBN 0-387-97993-X, Review by Ian Stewart. Review by Susan Stefney, Corrected 2nd printing, 1998.
  • (with Francis Y.C. Fung), The Sensual (Quadratic) Form, MAA (Series: Carus Mathematical Monographs), Printed in the U.S.A., 1997, ISBN 0-88385-030-3.
  • (with N.J.A. Sloane), The Geometry of Low-Dimensional Groups and Lattices, (in preparation).
  • (with D. Smith), “Quaternions, Octonions, and Geometry,” AK Peters, Publishers, January 2003. preparation).

更多论文点击John H. Conway Bibliography

人物介绍和报道

  • A Life in Games：John Horton Conway声称他一生中从未有一天是在工作。 此文根据传记《游戏中的天才(Genius at Play)》改编，展示了诸如超现实数(surreal numbers)之类的重大突破是如何从娱乐和游戏中产生的。《量子杂志(Quanta Magazine)》，西沃恩·罗伯茨(Siobhan Roberts)
  • John Horton Conway Dean of the Faculty, Princeton University

视频

更多信息

wiki词条

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CV

普林斯顿大学数学系个人主页

参考文献

  1. ↑ "John Conway". The Royal Society. Retrieved April 11, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  2. ↑ Conway, J. H.; Hardin, R. H.; Sloane, N. J. A. (1996). "Packing Lines, Planes, etc.: Packings in Grassmannian Spaces". Experimental Mathematics. 5 (2): 139. arXiv:math/0208004. doi:10.1080/10586458.1996.10504585.
  3. ↑ 约翰·何顿·康威 John Horton Conway's publications indexed by the Scopus bibliographic database. (subscription required)
  4. ↑ Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1990). "A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes". IEEE Transactions on Information Theory. 36 (6): 1319. doi:10.1109/18.59931.
  5. ↑ Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1993). "Self-dual codes over the integers modulo 4". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 62: 30–45. doi:10.1016/0097-3165(93)90070-O.
  6. ↑ Conway, J.; Sloane, N. (1982). "Fast quantizing and decoding and algorithms for lattice quantizers and codes" (PDF). IEEE Transactions on Information Theory. 28 (2): 227. CiteSeerX 10.1.1.392.249. doi:10.1109/TIT.1982.1056484.
  7. ↑ Conway, J. H.; Lagarias, J. C. (1990). "Tiling with polyominoes and combinatorial group theory". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 53 (2): 183. doi:10.1016/0097-3165(90)90057-4.
  8. ↑ 8.0 8.1 MacTutor History of Mathematics archive: John Horton Conway
  9. ↑ "John Conway". www.nndb.com. Retrieved 10 August 2010.
  10. ↑ 10.0 10.1 "CONWAY, Prof. John Horton". Who's Who 2014, A & C Black, an imprint of Bloomsbury Publishing plc, 2014; online edn, Oxford University Press.(subscription required)
  11. ↑ Roberts, Siobhan (23 July 2015). "John Horton Conway: the world's most charismatic mathematician". The Guardian.
  12. ↑ Mark Ronan (18 May 2006). Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics. Oxford University Press, UK. pp. 163. ISBN 978-0-19-157938-7. https://archive.org/details/symmetrymonstero0000rona. 
  13. ↑ Gardner, Martin (October 1970). "Mathematical Games: The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game "Life"". Scientific American. Vol. 223. pp. 120–123.
  14. ↑ "DMOZ: Conway's Game of Life: Sites". Archived from the original on 17 March 2017. Retrieved 11 January 2017.
  15. ↑ LifeWiki
  16. ↑ Does John Conway hate his Game of Life? (video)
  17. ↑ MacTutor History: The game made Conway instantly famous, but it also opened up a whole new field of mathematical research, the field of cellular automata.
  18. ↑ Rendell (2015)
  19. ↑ Case (2014)
  20. ↑ Rhoads, Glenn C. (2005). "Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds". Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. Bibcode:2005JCoAM.174..329R. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.
  21. ↑ Livingston, Charles, Knot Theory (MAA Textbooks), 1993
  22. ↑ Breakfast with John Horton Conway
  23. ↑ John Conway, Simon Kochen 2006 The Free Will Theorem,Quantum Physics
  24. ↑ Conway, John H.; Simon Kochen (2009)."The strong free will theorem" (PDF). Notices of the AMS. 56 (2): 226–232.
  25. ↑ Kochen S., (2017), Born's Rule, EPR, and the Free Will Theorem
  26. ↑ Cator, Eric; Klaas Landsman (2014). "Constraints on determinism: Bell versus Conway–Kochen". Foundations of Physics. 44 (7): 781–791. arXiv:1402.1972. Bibcode:2014FoPh...44..781C. doi:10.1007/s10701-014-9815-z.

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