自伴算子

在数学中，定义在具有内积[math]\displaystyle{ \langle \cdot ,\cdot \rangle }[/math]的复向量空间V上的自伴算子是指与其伴随算子相等的线性映射A（从V到V自身）。也就是说，对于所有的[math]\displaystyle{ x,y }[/math] ∊ V，都满足[math]\displaystyle{ \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }[/math]。当V是有限维空间且给定一组标准正交基时，这个条件等价于A的矩阵表示是厄米特矩阵，即等于其共轭转置A∗。根据有限维谱定理，我们总能找到V的一组标准正交基，使得A在这组基下的矩阵表示是一个实对角矩阵。本文将讨论如何将这一概念推广到任意维数的希尔伯特空间上的算子。

自伴算子在泛函分析和量子力学中具有重要应用。在狄拉克-冯诺伊曼的量子力学理论体系中，物理可观测量（如位置、动量、角动量和自旋）都由希尔伯特空间上的自伴算子来表示。其中特别重要的是哈密顿算子[math]\displaystyle{ {\hat{H}} }[/math]，它的定义为：

[math]\displaystyle{ {\hat{H}}\psi =-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}\nabla^{2}\psi +V\psi, }[/math]

作为一个可观测量，这个算子对应着质量为m的粒子在实势场V中的总能量。微分算子构成了一类重要的无界算子。

研究者们发现，无限维希尔伯特空间上的自伴算子结构与有限维情形本质上是相似的。具体来说，一个算子是自伴的，当且仅当它在西同构意义下等价于实值乘子算子。通过适当的修改，这个结果可以推广到无限维空间上的可能无界的算子。由于处处定义的自伴算子必然是有界的，因此在研究无界算子时，数学家们需要更加谨慎地处理定义域的问题。这些内容将在下文中得到更详细的解释。