Frobenius范数

当[math]\displaystyle{ L_{p,q} }[/math]范数中的[math]\displaystyle{ p = q = 2 }[/math]时，这种范数被称为Frobenius范数（弗罗贝尼乌斯范数）或希尔伯特-施密特范数，其中后者更常用于（可能是无限维的）希尔伯特空间中的算子情况。我们可以通过多种等价方式来定义这个范数：

[math]\displaystyle{ |A|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum {j}^{n}|a{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min{m,n}}\sigma _{i}^{2}(A)}}, }[/math]

其中迹是指对角线元素之和，而[math]\displaystyle{ \sigma _{i}(A) }[/math]是[math]\displaystyle{ A }[/math]的奇异值。第二个等式可以通过直接计算[math]\displaystyle{ \mathrm {trace} (A^{*}A) }[/math]来证明。第三个等式则可以通过[math]\displaystyle{ A }[/math]的奇异值分解以及迹在循环移位下不变的性质来证明。

Frobenius范数是欧几里得范数在[math]\displaystyle{ K^{n\times n} }[/math]上的推广，它源自于矩阵空间上的Frobenius内积。

Frobenius范数具有次乘性，这使得它在数值线性代数中特别有用。这种次乘性可以通过柯西-施瓦茨不等式来证明。

与诱导范数相比，Frobenius范数通常更容易计算，并且具有在旋转（以及一般的酉变换）下保持不变的重要性质。也就是说，对任意酉矩阵[math]\displaystyle{ U }[/math]，都有[math]\displaystyle{ |A|{\text{F}}=|AU|{\text{F}}=|UA|_{\text{F}} }[/math]。这个性质可以通过迹的循环性质（[math]\displaystyle{ \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY) }[/math]）来证明：

[math]\displaystyle{ |AU|{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{}A^{}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{}A^{}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}A\right)=|A|{\text{F}}^{2}, }[/math]

同样地：

[math]\displaystyle{ |UA|{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}U^{}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{}A\right)=|A|{\text{F}}^{2}, }[/math]

这里我们使用了[math]\displaystyle{ U }[/math]的酉性质（即[math]\displaystyle{ U^{}U=UU^{}=\mathbf{I} }[/math]）。

Frobenius范数还满足以下性质：

[math]\displaystyle{ |A^{}A|_{\text{F}}=|AA^{}|{\text{F}}\leq |A|{\text{F}}^{2} }[/math]

以及

[math]\displaystyle{ |A+B|{\text{F}}^{2}=|A|{\text{F}}^{2}+|B|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right), }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \langle A,B\rangle _{\text{F}} }[/math]是Frobenius内积，Re表示复数的实部（对于实矩阵来说这一项可以忽略）。