半正定厄米矩阵

在数学中，如果对于任意非零实列向量[math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]，实数[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\top M\mathbf{x} }[/math]都为正，那么我们就说这个实对称矩阵[math]\displaystyle{ M }[/math]是正定的，这里[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\top }[/math]表示[math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]的行向量转置。更一般地，对于厄米矩阵（即等于其共轭转置的复矩阵），如果对任意非零复列向量[math]\displaystyle{ \mathbf{z} }[/math]，实数[math]\displaystyle{ \mathbf{z}^* M\mathbf{z} }[/math]都为正，那么这个矩阵就是正定的，这里[math]\displaystyle{ \mathbf{z}^* }[/math]表示[math]\displaystyle{ \mathbf{z} }[/math]的共轭转置。

半正定矩阵的定义与此类似，区别在于标量[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\top M\mathbf{x} }[/math]和[math]\displaystyle{ \mathbf{z}^* M\mathbf{z} }[/math]只需要大于等于零（即非负）即可。

对于实对称矩阵[math]\displaystyle{ M }[/math]，我们可以用数学语言更严格地表述如下：

正定矩阵：对所有非零向量[math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]，都有[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\top M\mathbf{x} \gt 0 }[/math] 半正定矩阵：对所有向量[math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]，都有[math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\top M\mathbf{x} \geq 0 }[/math]

负定矩阵和半负定矩阵的定义方法与此类似。如果一个矩阵既不是半正定也不是半负定，我们就称它为不定矩阵。