基向量

在数学中，对于向量空间 [math]\displaystyle{ V }[/math] 中的一个向量集合 [math]\displaystyle{ B }[/math]，如果 [math]\displaystyle{ V }[/math] 中的每个元素都可以唯一地表示为 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中元素的有限线性组合，我们就称这个集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 为一组基。在这个线性组合中的系数，我们称之为这个向量在基 [math]\displaystyle{ B }[/math] 下的分量或坐标。基中的元素则称为基向量。

换句话说，如果一个集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中的元素线性无关，并且 [math]\displaystyle{ V }[/math] 中的每个元素都可以写成 [math]\displaystyle{ B }[/math] 中元素的线性组合，那么这个集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 就是一组基。也就是说，基是一个既线性无关又张成整个空间的集合。

一个向量空间可以有多组基，但是所有的基都具有相同数量的元素，这个数量我们称之为向量空间的维数。

本文主要讨论有限维向量空间。然而，许多原理对无限维向量空间同样适用。

基向量在晶体结构研究和参考系建立等方面都有重要应用。

对于任意向量 [math]\displaystyle{ v \in V }[/math]，我们可以将其唯一地表示为：

[math]\displaystyle{ v = \sum_{i=1}^n c_i b_i }[/math]

在这个表达式中，[math]\displaystyle{ b_i }[/math] 是基向量，而 [math]\displaystyle{ c_i }[/math] 则是向量 [math]\displaystyle{ v }[/math] 在这组基下的坐标。