希尔伯特-施密特

在数学中，希尔伯特-施密特算子（以数学家David Hilbert和Erhard Schmidt命名）是一类作用在希尔伯特空间H上的有界算子[math]\displaystyle{ A\colon H\to H }[/math]。这类算子的一个重要特征是它具有有限的希尔伯特-施密特范数：

[math]\displaystyle{ |A|{\operatorname{HS}}^{2}\ {\stackrel{\text{def}}{=}}\ \sum{i\in I}|Ae_{i}|_{H}^{2}, }[/math]

其中[math]\displaystyle{ {e_{i}:i\in I} }[/math]是一组标准正交基。指标集[math]\displaystyle{ I }[/math]不必是可数的，但是右边的求和中最多只能包含可数个非零项，这样定义才有意义。值得注意的是，这个定义与所选择的标准正交基无关，具有良好的不变性。

在有限维欧几里得空间中，希尔伯特-施密特范数[math]\displaystyle{ |\cdot|_{\text{HS}} }[/math]与Frobenius范数（弗罗贝尼乌斯范数）是完全相同的。这一性质为我们在有限维空间中研究这类算子提供了便利。

研究者们发现，希尔伯特-施密特算子在泛函分析和算子理论中具有重要应用，它们不仅提供了度量算子"大小"的有效工具，还在量子力学和其他物理应用中发挥着关键作用。