松弛振荡
松弛振荡（relaxation oscillation）是一类在时间尺度上具有显著分离特征的极限环振荡：轨道在相平面上的大部分时间缓慢漂移，偶尔发生快速跃迁，形成近似矩形的极限环轮廓。这一现象在 Van der Pol 振子的大参数极限（[math]\displaystyle{ \mu \gg 1 }[/math]）中最为典型，并广泛出现于神经元点火模型、化学振荡反应以及电子振荡电路中。[1]
数学描述
以 Van der Pol 振子为例，其方程为： [math]\displaystyle{ \ddot{x} - \mu(1 - x^2)\dot{x} + x = 0, \quad \mu \gg 1 }[/math]
引入慢时间变量 [math]\displaystyle{ \tau = t/\mu }[/math]，系统在相平面中的运动可分为两个阶段：
- 慢流形阶段：轨道沿三次慢流形曲线 [math]\displaystyle{ y = F(x) = \frac{x^3}{3} - x }[/math] 缓慢演化，时间尺度为 [math]\displaystyle{ O(\mu) }[/math]；
- 快速跃迁阶段：轨道在慢流形的折叠点处脱离，以 [math]\displaystyle{ O(1) }[/math] 的时间尺度水平跳跃至另一支慢流形。
在此近似下，极限环的周期可估算为：[1] [math]\displaystyle{ T \approx \mu(3 - 2\ln 2) }[/math] 该结果表明周期与 [math]\displaystyle{ \mu }[/math] 成正比，与数值结果吻合良好。
应用
松弛振荡广泛出现于以下领域：