极值定理

在微积分中，极值定理（也称最值定理）指出：如果实值函数[math]\displaystyle{ f }[/math]在闭区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上连续，那么[math]\displaystyle{ f }[/math]必定能够至少在一点处取得最大值和最小值。具体来说，在区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]中必定存在数[math]\displaystyle{ c }[/math]和[math]\displaystyle{ d }[/math]，使得：

[math]\displaystyle{ f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b]. }[/math]

极值定理比相关的有界性定理更加具体。有界性定理仅仅说明在闭区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上的连续函数[math]\displaystyle{ f }[/math]在该区间上有界，也就是说，存在实数[math]\displaystyle{ m }[/math]和[math]\displaystyle{ M }[/math]使得：

[math]\displaystyle{ m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b]. }[/math]

需要注意的是，有界性定理并没有说明[math]\displaystyle{ M }[/math]和[math]\displaystyle{ m }[/math]一定是函数[math]\displaystyle{ f }[/math]在区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上的最大值和最小值，而极值定理则明确指出这些边界值必须是函数在该区间上能够实际达到的值。

极值定理是证明罗尔定理的重要工具。这个定理还有一个由卡尔·魏尔施特拉斯提出的更一般形式：从非空紧空间到实数集子集的连续函数一定能取得最大值和最小值。这个推广形式在现代数学分析中具有深远的意义。