枢纽

在网络科学中，枢纽 Hub指的是其链接数远超过平均值的节点。网络的无标度性质 Scale-Free Property是枢纽出现的主要原因。 虽然在随机网络中难以观察到枢纽，但它们却有望出现于无标度网络中。无标度网络中枢纽的出现与其幂律分布的性质有关。枢纽对网络的拓扑结构有着重要的影响。我们可以在很多真实的网络中发现枢纽，比如大脑网络或者因特网。

图1：大脑连接性的网络表示，其中枢纽被突出显示

图2：2005年1月15日的因特网局部图，其中枢纽被突出显示

枢纽是拥有大度节点网络的重要构件。与网络中的其他节点相比，枢纽拥有的链接数量明显更多。在保持网络规模N和平均度 <k>不变的情况下，无标度网络中枢纽拥有的链接数（度）远远高于随机网络中链接数最大的节点。枢纽的存在是随机网络和无标度网络的最大区别。在随机网络中，对于每个节点而言，度k是相当的，因此不可能出现枢纽节点。而在无标度网络中，少数节点（即枢纽）具有较高的度值 k，而其他节点则只拥有少量的链接。

涌现

图3：随机网络（a），无标度网络（b）。在无标度网络中，大型枢纽被突出显示。

枢纽的涌现可以用无标度网络和随机网络的区别来解释。无标度网络（Barabási-Albert模型）与随机网络 （Erdős–Rényi模型）的区别主要存在于如下两个方面: （a）增长，（b）优先链接。

• （a）无标度网络假设节点数量N保持持续的增长，而随机网络则假设节点数量是固定的。在无标度网络中，最大枢纽的度随着网络规模的增大，呈多项式地上升。因此，在无标度网络中，枢纽的度可以很高。而在随机网络中，最大节点的度随N的增大而呈对数式（或更慢）的上升。因此即使在一个非常大的随机网络中，枢纽的数量也会很小。

• （b）无标度网络中的新节点倾向于链接到度较高的节点，而随机网络中的新节点则与其他节点随机相连。这一过程称为优先链接。新节点链接到度k较高节点的倾向可以用幂律分布来刻画(即，富者越富)。这一想法由维尔弗雷多·帕累托 Vilfredo Pareto提出，它解释了为什么一小部分人赚了大部分的钱。这个过程也存在于网络中，例如80%的网络链接指向15%的网页。无标度网络的出现并不仅仅是人类行为所创造的网络的典型现象，在新陈代谢网络或疾病网络中这一现象也十分常见。 这种现象可以由像Facebook或谷歌这样的万维网枢纽的来解释。这些网页是非常有名的，因此相较于指向随机的小网页，其他网页指向他们的倾向要高得多。

Barabási-Albert模型的数学解释:

图4：基于Barabasi-Albert模型的网络增长（[math]\displaystyle{ m_0=m=2 }[/math]）

网络起始于由[math]\displaystyle{ m_0 }[/math]个节点组成的初始联通网络。

每次向网络添加一个新节点。每个新的节点都被链接到[math]\displaystyle{ m \le m_0 }[/math]个现有的节点，其概率与现有节点已经拥有的链接数量成正比。形式上，新节点与现有节点[math]\displaystyle{ i }[/math]相连的概率[math]\displaystyle{ p_i }[/math]为：

[math]\displaystyle{ p_i = \frac{k_i}{\sum_j k_j}, }[/math]

其中[math]\displaystyle{ k_i }[/math]是节点[math]\displaystyle{ i }[/math]的度，求和则是针对所有预先存在的节点[math]\displaystyle{ j }[/math]进行的。（分母的数值是网络边数的两倍）。

网络中枢纽的涌现也与时间有关。在无标度网络中，较早出现的节点比后来者更有可能成为枢纽。这种现象被称为先发优势 First-Mover Advantage，它解释了为什么一些节点成为枢纽，而一些没有。然而，在一个真实的网络中，涌现的时间并不是影响枢纽规模的唯一因素。例如，在谷歌成为全球最大互联网枢纽的8年后，Facebook出现了，并于2011年成为了全球最大的互联网枢纽。因此，在实际网络中，枢纽的增长和规模也取决于各种各样的其他属性，如节点的流行程度、质量或老化程度。

属性

无标度网络中的枢纽有诸多属性：

缩短网络路径长度

网络中可观察到的枢纽越多，节点之间的距离就越短。在无标度网络中，枢纽是连接小度节点的桥梁。由于无标度网络中随机节点间的距离很小，我们称无标度网络为“小”或“超小”网络。虽然在一个非常小的网络中，路径长度的差异可能并不明显，但是在大型随机网络和无标度网络中，路径长度的差异是显著的。

无标度网络中的平均路径长度:

[math]\displaystyle{ \ell\sim\frac{\ln N}{\ln \ln N}. }[/math]

枢纽（节点）的老化

当旧的枢纽被隐藏在网络中时，这种现象便在真实网络中出现。这种现象导致了网络演化和拓扑结构的变化。 老化现象的例子可参照 Facebook 超越了网络中最大的枢纽 Google (自2000年以来最大的节点)。

鲁棒性和抗毁性

当节点发生随机故障或特定攻击时，枢纽是网络的重要构件。当网络中的节点发生随机故障时，枢纽影响网络的鲁棒性。

由于枢纽与大量小度节点共存，随机故障删除枢纽的几率很小。而去除小度节点对网络的完整性影响不大。即使随机删除会作用到上枢纽，网络碎片化 Fragmantation of Network的可能性也非常小，因为剩余的枢纽仍能将网络连接在一起。在这种情况下，枢纽就是无标度网络的中坚力量。

在对枢纽进行特定的攻击时，网络的完整性会相对较快地被破坏。由于小度节点大量的链接到枢纽，因此对最大枢纽的攻击会在短时间内破坏网络。2008年的金融市场崩溃就是这种网络失灵的一个例子，当时头号玩家（枢纽）的破产导致了整个系统的持续崩溃。另一方面，去除恐怖主义网络中的枢纽可能会产生积极的影响，特定节点的消失可能会摧毁整个恐怖组织。网络的抗毁性可以通过连接其外围节点来提高，但是它需要加倍的链接数量。

度相关

完全度相关 Perfect Degree Correlation意味着每个度值为k的节点只链接到相同度值的节点。节点之间的这种链接决定了网络的拓扑结构，从而影响了上文所讨论的网络鲁棒性。如果枢纽之间的链接数量与随机模式下的期望值相同，我们将这个网络称为中性网络 Neutral Network。如果枢纽倾向于相互连接，同时避免链接到小度节点，我们将这个网络称为同配网络 Assortative Network。这种网络的抗毁性相对较强，因为枢纽形成了一个核心团体，这对枢纽的移除来说是更加冗余的。如果枢纽避免相互链接，同时链接到小度节点，我们将这个网络称为异配网络 Disassortative Network。这种网络具有中心辐射特征 Hub-and-Spoke Character。因此，如果我们删除这种类型网络中的枢纽，可能会破坏或摧毁整个网络。

传播现象

枢纽还负责要素在网络上的有效传播。在疾病传播或信息流动的分析中，枢纽被称为超级传播者。超级传播者可能会产生积极的影响，如有效的信息流动，但在H1N1或艾滋病等流行病传播的情况下也会产生毁灭性的影响。如H1H1流行病预测等数学模型，可以基于人类流动网络，传染性，或人与人之间的社会互动，让我们预测疾病的传播。在消灭疾病方面，枢纽也很重要。在无标度网络中，枢纽是最有可能被感染的，因为他们有大量的链接。在枢纽被感染后，它将将疾病传播到它所链接的节点。因此，选择性免疫那些枢纽可能是消灭传播性疾病的成本效率最高的策略。

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