泡利矩阵

在数学物理和纯数学中，泡利矩阵是一组三个2×2复矩阵，它们具有迹为零、厄米性、对合性和酉性等特征。这组矩阵通常用希腊字母sigma（σ）表示，但在涉及同位旋对称性时，有时也用tau（τ）表示。

这三个矩阵的具体形式为： [math]\displaystyle{ {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}},\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix}},\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}}.\\end{aligned}} }[/math]

这组矩阵以物理学家Wolfgang Pauli的名字命名。在量子力学中，泡利矩阵出现在泡利方程中，用于描述粒子自旋与外部电磁场的相互作用。在光学中，这些矩阵还可以表示水平/垂直偏振、45度偏振（左/右）以及圆偏振（左/右）滤光片的相互作用状态。

每个泡利矩阵都是厄米矩阵。如果我们把单位矩阵I（有时被称为第零个泡利矩阵σ0）也考虑进来，那么泡利矩阵在加法运算下构成了2×2厄米矩阵空间（以实数为系数）的一组基。这意味着任何2×2厄米矩阵都可以唯一地表示为泡利矩阵的实系数线性组合。

泡利矩阵满足以下重要的乘积关系： [math]\displaystyle{ {\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}+i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}.\end{aligned}} }[/math]

在量子力学中，厄米算符表示可观测量，因此泡利矩阵张成了二维复希尔伯特空间中所有可观测量的空间。在泡利的研究工作中，σk表示三维欧几里得空间[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} }[/math]中沿第k个坐标轴的自旋可观测量。

泡利矩阵（经过i倍后变为反厄米矩阵）在李代数理论中也扮演着重要角色：iσ1、iσ2、iσ3构成实李代数[math]\displaystyle{ {\mathfrak{su}}(2) }[/math]的一组基，这个李代数通过指数映射得到特殊酉群SU(2)。由σ1、σ2、σ3生成的代数同构于[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} }[/math]的克利福德代数，而由iσ1、iσ2、iσ3生成的（含单位元的）结合代数则与四元数代数（[math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math]）同构。