更改

==非线性微分方程==

==非线性微分方程==

若一个微分方程组不是线性系统，则称其为非线性的。涉及[[非线性微分方程]]的问题非常多样，对不同问题的解决或分析方法也不相同。非线性微分方程的例子有流体力学中的 '''纳维-斯托克斯方程 Navier-Stokes Equations'''和生物学中的'''洛特卡－沃尔泰拉方程 Lotka-Volterra Equations'''。

若一个微分方程组不是线性系统，则称其为非线性的。涉及[[非线性微分方程]]的问题非常多样，对不同问题的解决或分析方法也不相同。非线性微分方程的例子有流体力学中的纳维-斯托克斯方程 Navier-Stokes Equations和生物学中的洛特卡－沃尔泰拉方程 Lotka-Volterra Equations。

非线性问题最大的困难之一是通常不可能将已知的解组合成新的解。例如，在线性问题中，可以根据叠加原理以一族线性独立的解构造通解。一个很好的例子是带有'''狄利克雷边界条件 Dirichlet Boundary Conditions'''的一维热传导问题，其解可以写成（随时间变化）不同频率的正弦波的线性组合，这使得解非常灵活。而对非线性方程，通常可以找到几个非常特殊的解，但是此时叠加原理不适用，故无法构造新的解。

非线性问题最大的困难之一是通常不可能将已知的解组合成新的解。例如，在线性问题中，可以根据叠加原理以一族线性独立的解构造通解。一个很好的例子是带有'''狄利克雷边界条件 Dirichlet Boundary Conditions'''的一维热传导问题，其解可以写成（随时间变化）不同频率的正弦波的线性组合，这使得解非常灵活。而对非线性方程，通常可以找到几个非常特殊的解，但是此时叠加原理不适用，故无法构造新的解。

:<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>

:<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math>

方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''² 项替换为''u''，该问题将变为线性的（'''指数衰减 Exponential Decay'''问题）。

方程的左边不是 ''u'' 及其导数的线性函数。注意，若将 ''u''² 项替换为''u''，该问题将变为线性的（指数衰减 Exponential Decay问题）。

二阶和高阶常微分方程（更一般地说，非线性方程组）很少能产生封闭解，而隐式解和非初等函数积分形式的解较为常见。

二阶和高阶常微分方程（更一般地说，非线性方程组）很少能产生封闭解，而隐式解和非初等函数积分形式的解较为常见。