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小世界网络 (查看源代码)

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小世界网络中往往会包含[https://en.wikipedia.org/wiki/Clique_(graph_theory) 团] cliques ~~以及临近团~~ near-cliques ——此处的“团”，指的是内部几乎任意两个节点之间都存在连接的子网络。这遵循[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 高集聚系数]的定义属性。其次，大多数节点对之间，都至少存在一条短路径。这遵循平均最短路径较小的定义属性。许多其他属性，通常也会与小世界网络有所关联。通常情况下，网络中会存在很多的中心 hub ——它们是具有很高连接数的节点（即高[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度] Degree 节点）。这些中心扮演了公共连接的角色，缩短了其他边之间的短路径长度。通过对比，航空航班的小世界网络，都体现出了较短的平均路径长度（例如，在任意两个城市之间飞行，你通常可能只需要乘坐三程或更少的航班数），因为很多航线都可以通过枢纽城市进行中转。这一属性的分析，通常要考虑网络中，具有相同入度的节点的比例（网络的度的分布）。网络具有较多中心 hub ，意味着度值较大的节点占比会更高，因此，在这种网络的度分布中，高度值分布更高，即俗称的[https://en.wikipedia.org/wiki/Fat-tailed_distribution 厚尾分布] fat-tailed distribution ~~。具有不同拓扑结构的图，只要满足上述两个定义，就可以被定义为小世界网络。~~

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小世界网络中往往会包含'''[https://en.wikipedia.org/wiki/Clique_(graph_theory) 团] cliques''' 以及'''临近团 near-cliques''' ——此处的“团”，指的是内部几乎任意两个节点之间都存在连接的子网络。这遵循[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 高集聚系数]的定义属性。其次，大多数节点对之间，都至少存在一条短路径。这遵循平均最短路径较小的定义属性。许多其他属性，通常也会与小世界网络有所关联。通常情况下，网络中会存在很多的'''中心 hub''' ——它们是具有很高连接数的节点（即高[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度] Degree 节点）。这些中心扮演了公共连接的角色，缩短了其他边之间的短路径长度。通过对比，航空航班的小世界网络，都体现出了较短的平均路径长度（例如，在任意两个城市之间飞行，你通常可能只需要乘坐三程或更少的航班数），因为很多航线都可以通过枢纽城市进行中转。这一属性的分析，通常要考虑网络中，具有相同入度的节点的比例（网络的度的分布）。网络具有较多中心，意味着度值较大的节点占比会更高，因此，在这种网络的度分布中，高度值分布更高，即俗称的[https://en.wikipedia.org/wiki/Fat-tailed_distribution 厚尾分布] fat-tailed distribution 。具有不同拓扑结构的图，只要满足上述两个定义，就可以被定义为'''小世界网络'''。

网络的小世界性被量化为一个系数 σ，可以通过比较给定网络与具备相同度分布的等价网络的集聚系数与路径长度，计算得出<ref name="a5">#The brainstem reticular formation is a small-world, not scale-free, network M. D. Humphries, K. Gurney and T. J. Prescott, Proc. Roy. Soc. B 2006 273, 503–511, doi:10.1098/rspb.2005.3354</ref><ref name="a6">#Humphries and Gurney (2008). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2323569 Network 'Small-World-Ness': A Quantitative Method for Determining Canonical Network Equivalence]". PLOS ONE. 3 (4): e0002051. doi:10.1371/journal.pone.0002051. PMC 2323569 Freely accessible. PMID 18446219.</ref>。

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<math>\sigma = \cfrac { \frac {C} {C_r} } { \frac {L} {L_r} } </math>

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:<math>\sigma = \cfrac { \frac {C} {C_r} } { \frac {L} {L_r} } </math>

如果<math> \sigma > {1}</math>( <math> C \gg C_r </math>，且<math>L \approx L_r</math>), 网络即为小世界网络

第23行：第23行：

另一个量化网络小世界性的方法，是利用小世界网络的原始定义，比较给定网络与等价随机网格网络的集聚系数及路径长度<ref name="a7">#The ubiquity of small-world networks Q.K. Telesford, K.E. Joyce, S. Hayasaka, J.H. Burdette, P.J. Laurienti, Brain Connect. 2011;1(5):367–75, doi:10.1089/brain.2011.0038</ref>。小世界所用的度量（ω）定义如下<ref name="a8">#Telesford, Joyce, Hayasaka, Burdette, and Laurienti (2011). "[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3604768 The Ubiquity of Small-World Networks]". Brain Connectivity. 1 (0038): 367–75. doi:10.1089/brain.2011.0038. PMC 3604768 Freely accessible. PMID 22432451.</ref>：

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<math> \omega = \frac{L_r}{L}-\frac{C}{C_l} </math>

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:<math> \omega = \frac{L_r}{L}-\frac{C}{C_l} </math>

其中，对于所选受测网络而言，<i>L</i>是特征路径长度，<i>C</i>是集聚系数。<math>C_l</math>是等价栅格网络的集聚系数，而<math>L_r</math>则是等价随机网络的的特征路径长度。

第29行：第29行：

R. Cohen和[https://en.wikipedia.org/wiki/Shlomo_Havlin Havlin]分析出<ref name="a9">#R. Cohen, S. Havlin, and D. ben-Avraham (2002). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Structural+properties+of+scale+free+networks&year=*&match=all Structural properties of scale free networks]". Handbook of graphs and networks. Wiley-VCH, 2002 (Chap. 4).</ref><ref name="a10">#R. Cohen, S. Havlin (2003). "[http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Scale-free+networks+are+ultrasmall++&year=*&match=all Scale-free networks are ultrasmall]". Phys. Rev. Lett. 90 (5): 058701. arXiv:cond-mat/0205476. Bibcode:2003PhRvL..90e8701C. doi:10.1103/PhysRevLett.90.058701. PMID 12633404.</ref>，[https://en.wikipedia.org/wiki/Scale-free_networks 无标度网络]是超小世界。在这种情况下，由于中心的存在，最短路径会变得非常小，并且满足如下关系：

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<math> L \propto \log{\log N}</math>

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:<math> L \propto \log{\log N}</math>

结果表明，在存在[https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise 白噪音]的小世界网络中，会出现随机同步，这意味着，白噪音有助于系统针对中等噪声强度进行更好地同步，而非减少噪音<ref name="a11">#Reihaneh Kouhi Esfahani, Farhad Shahbazi, Keivan Aghababaei Samani (2012). "[https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.036204 Noise-induced synchronization in small-world networks of phase oscillators]". Physical Review E. American Physical Society (3).</ref><ref name="a12">#Rodrigues, Francisco A and Peron, Thomas K DM and Ji, Peng and Kurths, J{\"u}rgen} (2016). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315004408 The Kuramoto model in complex networks]". Physics Reports. Elsevier.</ref>。这种现象，与白噪音在[https://en.wikipedia.org/wiki/Random_graph 随机图]或[https://en.wikipedia.org/wiki/Scale-free_network 无标度网络]中的效果形成了鲜明的对比，即应用噪声会降低这些网络中的同步幅度。

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