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→稳定性
===稳定性===
===稳定性===
零输入的一般动力系统的稳定性可以用李雅普诺夫稳定性标准来描述。
*一个线性系统如果对于任何有界输入都舒服于有界的输出中，被称为有界输入有界输出 BIBO 稳定。
*一个线性系统被称为有界输入有界输出(BIBO)稳定的，若系统对于任何有界输入的输出都是有界的。
*输入状态的非线性系统的稳定性是输入状态稳定性 ISS，它结合了Lyapunov稳定性和类似于BIBO稳定性的概念。
*非零输入的非线性系统的稳定性由输入-状态稳定性(ISS)表示，它结合了李雅普诺夫稳定性和一个类似于BIBO稳定性的概念。
为简单起见，下面的描述集中于连续和离散时间'''线性系统'''。
在数学上，这意味着一个线性系统若要稳定，其传递函数的所有极点都必须有负实部，即每个极点的实数部分必须小于零。实际上，稳定性意味着传递函数的复极点：
*当使用Laplace变换获得传递函数时，在连续时间的复数平面的左半部分中保持不变。
*当使用拉普拉斯变换获得传递函数时，位于连续时间复平面的左半开平面。
*使用Z变换时，离散时间下的单位圆包含的稳定性不变。
*当使用Z-变换时，位于离散时间平面的单位圆内。
这两种情况之间的区别仅仅是连续时间和离散时间传递函数的表示方法。连续的拉普拉斯变换是在笛卡尔直角坐标系中，其中<math>x</math>轴是实轴，离散的Z-变换是在极坐标系中，其中<math>\rho</math>轴是实轴。
当满足合适的条件时，系统被称为渐近稳定的，渐近稳定系统的变量总是自初值不断减少，且不会出现永久的振荡。当极点的实部精确等于零（连续情况）或模量等于1（离散情况）时，就会发生永久振荡。如果一个简单稳定系统的响应既不随时间衰减也不随时间增长，并且没有振荡，那么它是临界稳定的；在这种情况下，系统传递函数在复平面原点处具有非重极点（即在连续时间情况下，它们的实数和复数分量为零）。当实部等于零的极点的虚部不等于零时，就存在振荡。
如果一个系统的冲激响应为
:<math>\ x[n] = 0.5^n u[n]</math>
:<math>\ x[n] = 0.5^n u[n]</math>
其Z-变换（参见[本例]）为
:<math>\ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}</math>
:<math>\ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}</math>
在<math>z = 0.5</math>零虚部)中有一个极点。这个系统是 BIBO (渐近)稳定的，因为极点在单位圆内。
在<math>z = 0.5</math> （虚部为0）处有一个极点。因此这个系统是 BIBO（渐近）稳定的，因为极点在单位圆内。
然而，如果冲激响应是
:<math>\ x[n] = 1.5^n u[n]</math>
:<math>\ x[n] = 1.5^n u[n]</math>
那么其Z-变换
:<math>\ X(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1}}</math>
:<math>\ X(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1}}</math>
极点在<math>z = 1.5</math>上。因为极点的模严格大于1，所以系统不是BIBO稳定的。
有许多工具可用来分析系统的极点。包括根轨迹，波特图或奈奎斯特图等图形表示方法。
机械的改变可以使设备（和控制系统）更加稳定。水手们增加压舱物以改善船只的稳定性。游轮使用从船侧横向延伸约30英尺（10米）的防侧翻鳍，并不断地绕轴旋转，以产生阻止侧翻的力。
===可控性和可观察性===
===可控性和可观察性===