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大小无更改 、 2020年10月23日 (五) 20:47
第52行: 第52行:  
If  is a linear function of  and its derivatives, then the PDE is called linear. Common examples of linear PDEs include the heat equation, the wave equation, Laplace's equation, Helmholtz equation, Klein–Gordon equation, and Poisson's equation.
 
If  is a linear function of  and its derivatives, then the PDE is called linear. Common examples of linear PDEs include the heat equation, the wave equation, Laplace's equation, Helmholtz equation, Klein–Gordon equation, and Poisson's equation.
   −
如果{{mvar|f}}是函数及其导数的线性方程,则偏微分方程称为线性函数。线性偏微分方程的常见例子包括热方程、波动方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程方程、 Klein-Gordon 方程和 Poisson 方程。
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如果{{mvar|f}}是函数及其导数的线性方程,则偏微分方程称为线性函数。线性偏微分方程的常见例子包括热方程、波动方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程方程、克莱因-高登方程和泊松方程。
      第68行: 第68行:  
  <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0.</math>
 
  <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0.</math>
   −
(x,y)0. / math
+
 
      第76行: 第76行:  
This relation implies that the function  is independent of . However, the equation gives no information on the function's dependence on the variable . Hence the general solution of this equation is
 
This relation implies that the function  is independent of . However, the equation gives no information on the function's dependence on the variable . Hence the general solution of this equation is
   −
这个关系意味着函数是独立的。然而,这个方程没有给出关于函数依赖于变量的信息。因此,这个方程的通解是
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这个关系意味着函数是独立于{{mvar|x}}的。然而,这个方程没有给出关于函数和变量相关性的信息。因此,这个方程的通解是
      第83行: 第83行:     
  <math>u(x,y) = f(y),</math>
 
  <math>u(x,y) = f(y),</math>
  −
数学 u (x,y) f (y) / 数学
        第92行: 第90行:  
where  is an arbitrary function of . The analogous ordinary differential equation is
 
where  is an arbitrary function of . The analogous ordinary differential equation is
   −
其中的任意函数是。类似的常微分方程是
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其中{{mvar|f}}是{{mvar|y}}的任意函数。类似的常微分方程是
      第100行: 第98行:  
  <math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,</math>
 
  <math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,</math>
   −
(x)0,/ math
        第108行: 第105行:  
which has the solution
 
which has the solution
   −
它有解决办法
+
它的解为
      第116行: 第113行:  
  <math>u(x) = c,</math>
 
  <math>u(x) = c,</math>
   −
数学 u (x) c / 数学
        第124行: 第120行:  
where  is any constant value. These two examples illustrate that general solutions of ordinary differential equations (ODEs) involve arbitrary constants, but solutions of PDEs involve arbitrary functions.
 
where  is any constant value. These two examples illustrate that general solutions of ordinary differential equations (ODEs) involve arbitrary constants, but solutions of PDEs involve arbitrary functions.
   −
这里的常量值。这两个例子说明常微分方程的一般解包含任意常数,但偏微分方程的解包含任意函数。
+
这里的{{mvar|c}}是常量。这两个例子说明常微分方程的一般解包含任意常数,但偏微分方程的解包含任意函数。
      第132行: 第128行:  
A solution of a PDE is generally not unique; additional conditions must generally be specified on the boundary of the region where the solution is defined. For instance, in the simple example above, the function  can be determined if  is specified on the line  0}}.
 
A solution of a PDE is generally not unique; additional conditions must generally be specified on the boundary of the region where the solution is defined. For instance, in the simple example above, the function  can be determined if  is specified on the line  0}}.
   −
偏微分方程的解一般不是唯一的; 附加条件一般必须在定义解的区域边界上指定。例如,在上面的简单示例中,如果在行0}中指定了函数,则可以确定该函数。
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偏微分方程的解一般不是唯一的; 附加条件一般必须在定义解的区域边界上定义。例如,在上面的简单示例中,如果在{{math|''x'' {{=}} 0}}时确定了{{mvar|u}}的值,则可以确定该函数{{math|''f''(''y'')}}。
    
== Existence and uniqueness ==
 
== Existence and uniqueness ==
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