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  ==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])whereby the configurations are rescaled to always have the same physical dimension翻译存疑 ==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])
 
  ==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])whereby the configurations are rescaled to always have the same physical dimension翻译存疑 ==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])
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== Generalizations and related models归纳与相关模型==
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== 归纳与相关模型==
=== Sandpile models on infinite grids有向图上的沙堆模型===
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===有向图上的沙堆模型===
[[File:Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|30 million grains dropped to a site of the infinite square grid, then toppled according to the rules of the sandpile model. White color denotes sites with 0 grains, green is for 1, purple is for 2, gold is for 3. The bounding box is 3967×3967.]]
      
[[File:Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上,然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置,绿色表示1颗,紫色表示2颗,金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]
 
[[File:Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上,然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置,绿色表示1颗,紫色表示2颗,金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]
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There exist several generalizations of the sandpile model to infinite grids. A challenge in such generalizations is that, in general, it is not guaranteed anymore that every avalanche will eventually stop. Several of the generalization thus only consider the stabilization of configurations for which this can be guaranteed.
      
沙堆模型可以推广到无限网格中。这种归纳法的一个挑战是,一般来说,不能保证每次雪崩最终都会停止。因此,一些一般化方法只考虑了构型的稳定性,因为这一点是能保证的。
 
沙堆模型可以推广到无限网格中。这种归纳法的一个挑战是,一般来说,不能保证每次雪崩最终都会停止。因此,一些一般化方法只考虑了构型的稳定性,因为这一点是能保证的。
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A rather popular model on the (infinite) square lattice with sites <math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math> is defined as follows:
      
在(无限)方格上有一个相当流行的模型,其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下:
 
在(无限)方格上有一个相当流行的模型,其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下:
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Begin with some nonnegative configuration of values <math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math> which is finite, meaning
      
从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负配置开始,这意味着
 
从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负配置开始,这意味着
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:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>
 
:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>
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Any site <math>(x,y)</math> with
      
任何位置<math>(x,y)</math>有
 
任何位置<math>(x,y)</math>有
 
:<math>z(x,y)\geq 4</math>
 
:<math>z(x,y)\geq 4</math>
is ''unstable'' and can ''topple'' (or ''fire''), sending one of its chips to each of its four neighbors:
      
就是“不稳定的”,并且会产生崩塌,将它位置上的沙粒分发给它的四个邻居:
 
就是“不稳定的”,并且会产生崩塌,将它位置上的沙粒分发给它的四个邻居:
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:<math>z(x, y \pm 1) \rightarrow z( x, y \pm 1 ) + 1.</math>
 
:<math>z(x, y \pm 1) \rightarrow z( x, y \pm 1 ) + 1.</math>
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Since the initial configuration is finite, the [[Action (philosophy)|process]] is guaranteed to terminate, with the grains scattering outward.
      
由于初始构型是有限的,这一过程必然会随着沙粒向外散布终止。
 
由于初始构型是有限的,这一过程必然会随着沙粒向外散布终止。
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A popular special case of this model is given when the initial configuration is zero for all vertices except the origin. If the origin carries a huge number of grains of sand, the configuration after relaxation forms fractal patterns (see figure). When letting the initial number of grains at the origin go to infinity, the rescaled stabilized configurations were shown to converge to a unique limit.<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />
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给出了该模型的一个常见特例,即除原点外的所有顶点的初始配置都为零。如果原点放置大量沙粒,松弛后的构型形成分形图案(见图)。当初始颗粒数趋于无穷时,重缩放的稳定构型收敛到唯一极限。<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />
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给出了该模型的一个常见特例,即除原点外的所有顶点的初始构型都为零。如果原点放置大量沙粒,松弛后的构型形成分形图案(见图)。当初始颗粒数趋于无穷时,重缩放的稳定构型收敛到唯一极限。<ref name="Pegden2013" /><ref name="Levine2016" />
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=== Sandpile models on directed graphs有向图上的沙堆模型===
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===有向图上的沙堆模型===
The sandpile model can be generalized to arbitrary directed multigraphs. The rules are that any vertex <math>v</math> with
      
沙堆模型可以推广到任意有向多重图。规则是任何顶点<math>v</math>有
 
沙堆模型可以推广到任意有向多重图。规则是任何顶点<math>v</math>有
 
:<math>z(v)\geq \deg^{+}(v)</math>
 
:<math>z(v)\geq \deg^{+}(v)</math>
is unstable; toppling again sends chips to each of its neighbors, one along each outgoing edge:
      
则是不稳定的;崩塌将它的碎片沿着边的输出方向,分发给它的邻居:
 
则是不稳定的;崩塌将它的碎片沿着边的输出方向,分发给它的邻居:
 
:<math>z(v) \rightarrow z(v) - \deg^{+}(v) + \deg(v,v)</math>
 
:<math>z(v) \rightarrow z(v) - \deg^{+}(v) + \deg(v,v)</math>
and, for each <math>u\neq v</math>:
      
并且,对于每个<math>u\neq v</math>:
 
并且,对于每个<math>u\neq v</math>:
 
:<math>z(u) \rightarrow z(u) + \deg(v,u)</math>
 
:<math>z(u) \rightarrow z(u) + \deg(v,u)</math>
where <math>\deg(v,u)</math> is the number of edges from <math>v</math> to <math>u</math>.
      
其中,<math>\deg(v,u)</math>是从<math>v</math>到<math>u</math>的边数。
 
其中,<math>\deg(v,u)</math>是从<math>v</math>到<math>u</math>的边数。
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In this case the Laplacian matrix is not symmetric. If we specify a sink <math>s</math> such that there is a path from every other vertex to <math>s</math>, then the stabilization operation on finite graphs is well-defined and the sandpile group can be written
      
在这种情况下,拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们指定一个沉没顶点<math>s</math>,使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径,那么有限图上的稳定操作是定义良好的,并且沙堆群可以像之前一样被写出来
 
在这种情况下,拉普拉斯矩阵是不对称的。如果我们指定一个沉没顶点<math>s</math>,使得每一个顶点都有一条到<math>s</math>的路径,那么有限图上的稳定操作是定义良好的,并且沙堆群可以像之前一样被写出来
    
:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>
 
:<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>
as before.
      
The order of the sandpile group is again the determinant of <math>\Delta'</math>, which by the general version of the [[Kirchhoff's theorem|matrix tree theorem]] is the number of oriented [[spanning tree]]s rooted at the sink.
 
The order of the sandpile group is again the determinant of <math>\Delta'</math>, which by the general version of the [[Kirchhoff's theorem|matrix tree theorem]] is the number of oriented [[spanning tree]]s rooted at the sink.
    
沙堆群的顺序又是<math>\Delta'</math>的行列式,根据[[矩阵树定理]]的一般版本,它是根在沉没顶点的有向[[spanning tree]]生成树的数目。
 
沙堆群的顺序又是<math>\Delta'</math>的行列式,根据[[矩阵树定理]]的一般版本,它是根在沉没顶点的有向[[spanning tree]]生成树的数目。
==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])The order of the sandpile group翻译存疑。
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==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])The order of the sandpile group翻译存疑。==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])
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=== The extended sandpile model扩展沙堆模型===
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===扩展沙堆模型===
[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|Sandpile dynamics induced by the harmonic function H=x*y on a 255x255 square grid.]]
      
[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数H=x*y在255x255方格网格上引起的沙堆动力学。]]
 
[[File:Harmonic Sandpile Dynamics.gif|thumb|由谐波函数H=x*y在255x255方格网格上引起的沙堆动力学。]]
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To better understand the structure of the sandpile group for different finite convex grids <math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math> of the standard square lattice <math>\mathbb{Z}^2</math>, Lang and Shkolnikov introduced the ''extended sandpile model'' in 2019.<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref> The extended sandpile model is defined nearly exactly the same as the ''usual sandpile model'' (i.e. the original Bak–Tang–Wiesenfeld model <ref name="Bak1987" />), except that vertices at the boundary <math>\partial\Gamma</math> of the grid are now allowed to carry a non-negative real number of grains. In contrast, vertices in the interior of the grid are still only allowed to carry integer numbers of grains. The toppling rules remain unchanged, i.e. both interior and boundary vertices are assumed to become unstable and topple if the grain number reaches or exceeds four.
      
为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构,Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同(即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />),除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下,网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变,即假设当沙粒数达到或超过4时,内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。
 
为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构,Lang和Shkolnikov在2019年提出了“扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同(即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />),除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下,网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变,即假设当沙粒数达到或超过4时,内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。
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扩展沙堆模型的递归构型也形成了一个阿贝尔群,称为“扩展沙堆群”,通常的扩展沙堆群是一个[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同,扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。只因为它是由添加沙粒到网格的边界<math>\partial\Gamma</math>上形成的,扩展后的沙堆群还具有维度<math>|\partial\Gamma|</math>的环面拓扑结构,并且按通常沙堆组的顺序给出的体积。<ref name="Lang2019" />
 
扩展沙堆模型的递归构型也形成了一个阿贝尔群,称为“扩展沙堆群”,通常的扩展沙堆群是一个[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同,扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。只因为它是由添加沙粒到网格的边界<math>\partial\Gamma</math>上形成的,扩展后的沙堆群还具有维度<math>|\partial\Gamma|</math>的环面拓扑结构,并且按通常沙堆组的顺序给出的体积。<ref name="Lang2019" />
==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])Since it is generated by only adding grains of sand to the boundary <math>\partial\Gamma</math> of the grid翻译存疑。a volume given by the order of the usual sandpile group.翻译存疑。
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==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])Since it is generated by only adding grains of sand to the boundary <math>\partial\Gamma</math> of the grid翻译存疑。a volume given by the order of the usual sandpile group.翻译存疑。==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])
    
Of specific interest is the question how the recurrent configurations dynamically change along the continuous [[geodesic]]s of this torus passing through the identity. This question leads to the definition of the sandpile dynamics
 
Of specific interest is the question how the recurrent configurations dynamically change along the continuous [[geodesic]]s of this torus passing through the identity. This question leads to the definition of the sandpile dynamics
    
特别感兴趣的问题是循环构型如何通过恒等式,沿着这个环面的连续[[测地线]]动态变化的问题。这个问题引出了沙堆动力学的定义
 
特别感兴趣的问题是循环构型如何通过恒等式,沿着这个环面的连续[[测地线]]动态变化的问题。这个问题引出了沙堆动力学的定义
==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])identity在整篇文章中的翻译需进行统一,如何翻译??同一性,恒等式??
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==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])identity在整篇文章中的翻译需进行统一,如何翻译??同一性,恒等式??==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])
 
:<math>D_H(t)=(I-t\Delta H)^\circ</math> (扩展沙堆模型)
 
:<math>D_H(t)=(I-t\Delta H)^\circ</math> (扩展沙堆模型)
 
respectively  
 
respectively  
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==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])上面的整个长句翻译需要重新审校Informaly, this renormalization simply maps
 
==[[用户:Zcy|Zcy]]([[用户讨论:Zcy|讨论]])上面的整个长句翻译需要重新审校Informaly, this renormalization simply maps
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=== The divisible sandpile 可分割的沙堆===
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=== 可分割的沙堆===
A strongly related model is the so called '''divisible sandpile model''', introduced by Levine and Peres in 2008,<ref>{{Cite journal|last1=Levine|first1=Lionel|last2=Peres|first2=Yuval|date=2008-10-29|title=Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile|journal=Potential Analysis|language=en|volume=30|issue=1|pages=1–27|doi=10.1007/s11118-008-9104-6|issn=0926-2601|arxiv=0704.0688|s2cid=2227479}}</ref> in which, instead of a discrete number of particles in each site <math>x</math>, there is a real number <math>s(x)</math> representing the amount of mass on the site. In case such mass is negative, one can understand it as a hole. The topple occurs whenever a site has mass larger than 1; it topples the excess evenly between its neighbors resulting in the situation that, if a site is full at time <math>t</math>, it will be full for all later times.
      
Levine和Peres在2008年提出了一个与之密切相关的模型,即所谓的“可分割的沙堆模型”。<ref>{{Cite journal|last1=Levine|first1=Lionel|last2=Peres|first2=Yuval|date=2008-10-29|title=Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile|journal=Potential Analysis|language=en|volume=30|issue=1|pages=1–27|doi=10.1007/s11118-008-9104-6|issn=0926-2601|arxiv=0704.0688|s2cid=2227479}}</ref>与每个位置<math>x</math>上的沙粒数量为离散数不同,有一个实数<math>s(x)</math>代表位置的总质量。如果这个质量是负的,我们就可以把它理解为一个空洞。当一个位置上的质量大于1时,就会发生崩塌; 它将多余的部分均匀地分发给它的邻居,这就导致了如果一个位置在<math>t</math>的时刻质量是1,它在以后的所有时间质量都是1。
 
Levine和Peres在2008年提出了一个与之密切相关的模型,即所谓的“可分割的沙堆模型”。<ref>{{Cite journal|last1=Levine|first1=Lionel|last2=Peres|first2=Yuval|date=2008-10-29|title=Strong Spherical Asymptotics for Rotor-Router Aggregation and the Divisible Sandpile|journal=Potential Analysis|language=en|volume=30|issue=1|pages=1–27|doi=10.1007/s11118-008-9104-6|issn=0926-2601|arxiv=0704.0688|s2cid=2227479}}</ref>与每个位置<math>x</math>上的沙粒数量为离散数不同,有一个实数<math>s(x)</math>代表位置的总质量。如果这个质量是负的,我们就可以把它理解为一个空洞。当一个位置上的质量大于1时,就会发生崩塌; 它将多余的部分均匀地分发给它的邻居,这就导致了如果一个位置在<math>t</math>的时刻质量是1,它在以后的所有时间质量都是1。
      
== References引用 ==
 
== References引用 ==