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'''<font color="#ff8000">仓室模型Compartmental models</font>'''简化了传染病传播的数学模型。人群被划分为带有标签的类别，例如，S，I，和 R，(易感者，染病者和康复者)。不同类别人群的标签会发生变化。标签的变化反映了不同类别人群之间的转化模式，例如SEIS模型代表易感者类型可以转变为暴露者类型、暴露者类型可以转变为染病者类型，染病者类型可以再次转变回易感者类型。
'''<font color="#ff8000">仓室模型 Compartmental models</font>'''简化了传染病传播的数学模型。人群被划分为带有标签的类别，例如，S，I，和 R，(易感者，染病者和康复者)。不同类别人群的标签会发生变化。标签的变化反映了不同类别人群之间的转化模式，例如SEIS模型代表易感者类型可以转变为暴露者类型、暴露者类型可以转变为染病者类型，染病者类型可以再次转变回易感者类型。
这类模型起源于20世纪初，克马克和麦克德里克在1927年的一项重要工作。<ref name="Kermack–McKendrick">{{cite journal |last1=Kermack |first1=W. O. |last2=McKendrick |first2=A. G. |title=A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=115 |issue=772 |pages=700–721 |date=1927 |doi=10.1098/rspa.1927.0118|bibcode=1927RSPSA.115..700K |doi-access=free }}</ref>
这类模型起源于20世纪初，克马克和麦克德里克在1927年的一项重要工作。<ref name="Kermack–McKendrick">{{cite journal |last1=Kermack |first1=W. O. |last2=McKendrick |first2=A. G. |title=A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=115 |issue=772 |pages=700–721 |date=1927 |doi=10.1098/rspa.1927.0118|bibcode=1927RSPSA.115..700K |doi-access=free }}</ref>
===缺少生命动力学的SIR模型===
===缺少生命动力学的SIR模型===
流行病导致的动态变化，例如流感，往往比出生和死亡的导致的动态变化更快，因此，出生和死亡往往被简单的'''<font color="#ff8000">仓室模型comparenmental models</font>'''所忽略。没有上述所谓的生命动力学(出生和死亡，有时称为人口统计学)的 SIR 系统可以用下列一组常微分方程表示:<ref name="Hethcote2000">{{cite journal |author=Hethcote H |title=The Mathematics of Infectious Diseases |journal=SIAM Review |volume=42 |issue= 4|pages=599–653 |year=2000 |doi=10.1137/s0036144500371907|bibcode=2000SIAMR..42..599H }}</ref>
流行病导致的动态变化，例如流感，往往比出生和死亡的导致的动态变化更快，因此，出生和死亡往往被简单的'''<font color="#ff8000">仓室模型comparenmental models</font>'''所忽略。没有上述所谓的生命动力学(出生和死亡，有时称为人口统计学)的 SIR 系统可以用下列一组常微分方程表示：<ref name="Hethcote2000">{{cite journal |author=Hethcote H |title=The Mathematics of Infectious Diseases |journal=SIAM Review |volume=42 |issue= 4|pages=599–653 |year=2000 |doi=10.1137/s0036144500371907|bibcode=2000SIAMR..42..599H }}</ref>
:<math> \frac{dS}{dt} + \frac{dI}{dt} + \frac{dR}{dt} = 0,</math>
:<math> \frac{dS}{dt} + \frac{dI}{dt} + \frac{dR}{dt} = 0,</math>
接下来是：
用数学形式来体现人口 <math> N </math>的稳定性。注意，上述关系意味着只需要在方程中研究三个变量中的两个。
用数学形式来体现人口 <math> N </math>的稳定性。注意，上述关系意味着只需要在方程中研究三个变量中的两个。
其次，我们注意到不同种类人群的动态取决于以下比例：
:<math> \frac{dI}{dt} = \left(R_0 \frac{S}{N} - 1\right) \gamma I,</math>
:<math> \frac{dI}{dt} = \left(R_0 \frac{S}{N} - 1\right) \gamma I,</math>
如果:
如果:
那么：
那么：
也就是说，随着染病者数量的增加(达到人口相当大的一个比例) ，将会有一场流行病的爆发。相反，如果
也就是说，随着染病者数量的增加(达到人口相当大的一个比例) ，将会有一场流行病的爆发。相反，如果
那么
那么
====感染力====
====感染力====
注意，在上面的模型中，函数：
:<math> F = \beta I,</math>
:<math> F = \beta I,</math>
建立了从易感者到染病者的传染率模型，这被称为'''<font color="#ff8000">感染力the force of infection</font>'''。然而，对于大部分传染病来说，更现实的做法是考虑一种'''<font color="#ff8000">感染力the force of infection</font>'''，这种传染力并不取决于染病者人群的绝对数量，而是取决于染病者人群的比例(就总人口<math>N</math>而言) ：
:<math> F = \beta \frac{I}{N} .</math>
:<math> F = \beta \frac{I}{N} .</math>
Capasso<ref name="Capasso">{{cite book |first=V. |last=Capasso |title=Mathematical Structure of Epidemic Systems |location=Berlin |publisher=Springer |year=1993 |isbn=3-540-56526-4 }}</ref>和后来的其他作者提出了非线性的感染力，以建模更现实的传染过程。
Capasso<ref name="Capasso">{{cite book |first=V. |last=Capasso |title=Mathematical Structure of Epidemic Systems |location=Berlin |publisher=Springer |year=1993 |isbn=3-540-56526-4 }}</ref>和后来的其他作者提出了非线性的感染力，以建模更现实的传染过程。
:<math>\mathcal{R}(u)=R(0) -\rho \ln(u)</math>
:<math>\mathcal{R}(u)=R(0) -\rho \ln(u)</math>
有初始条件
有初始条件
===具有生命动力学和稳定人口的SIR模型===
===具有生命动力学和稳定人口的SIR模型===
考虑有死亡率<math>\mu</math>和出生率<math>\Lambda</math>的人群，以及正在传播的传染病。具有质量作用传递的模型是:
考虑有死亡率<math>\mu</math>和出生率<math>\Lambda</math>的人群，以及正在传播的传染病。具有质量作用传递的模型是：
其'''<font color="#ff8000">无病平衡点the disease-free quilibrium</font>'''为：
其'''<font color="#ff8000">无病平衡点the disease-free quilibrium</font>'''为:
在这种情况下，我们可以得出一个基本再生数：
这种基本再生数具有临界性质。事实上，独立于具有生物学意义的初始值，我们可以证明：
EE点被称为地方病平衡点(这种疾病还没有完全根除，仍然存在于人群中)。通过启发式的论证，表明<math>R_{0}</math>可以理解为在完全易感人群中，由一个染病者引起的平均感染人数，上述关系在生物学上意味着，如果这个数字小于或等于1，这种疾病就会灭绝，而如果这个数字大于1，这种疾病就会在人群中永久地流行下去。
EE点被称为地方病平衡点(这种疾病还没有完全根除，仍然存在于人群中)。通过启发式的论证，表明<math>R_{0}</math>可以理解为在完全易感人群中，由一个染病者引起的平均感染人数，上述关系在生物学上意味着，如果这个数字小于或等于1，这种疾病就会灭绝，而如果这个数字大于1，这种疾病就会在人群中永久地流行下去。
==基础SIR模型的变化==
==基础SIR模型的变化==
===SIS模型===
===SIS模型===
[[File: SIR-Modell.png |thumb|图4：黄色=易感，栗色=感染]]
[[File: SIR-Modell.png |thumb|图4：黄色=易感，栗色=感染]]
有些传染病，例如普通感冒和流感，并不能产生持久的免疫力。这种传染病在感染康复后不会产生免疫力，个体会再次变为易感染类型。
有些传染病，例如普通感冒和流感，并不能产生持久的免疫力。这种传染病在感染康复后不会产生免疫力，个体会再次变为易感染类型。
[[File:SIS compartment model.svg|400px|center|SIS传染病模型l]]
[[File:SIS compartment model.svg|400px|center|SIS传染病模型l]]
我们有以下模型：
注意，用N表示人群总数：
由此可见：
也就是。传染病的动态性是由Logistic函数控制的，所以对于所有的<math>\forall I(0) > 0</math>:
也就是。传染病的动态性是由Logistic函数控制的，所以对于所有的<math>\forall I(0) > 0</math>：
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
:<math>I(t) = \frac{I_\infty}{1+V e^{-\chi t}}</math>.
其中 <math>I_\infty = (1 -\gamma/\beta)N</math>是地方性传染病人群数量，<math>\chi = \beta-\gamma</math>， <math>V = I_\infty/I_0 - 1</math>。假设系统是封闭的，那么易感者人群数量是<math>S(t) = N - I(t)</math>。
其中 <math>I_\infty = (1 -\gamma/\beta)N</math>是地方性传染病人群数量，<math>\chi = \beta-\gamma</math>， <math>V = I_\infty/I_0 - 1</math>。假设系统是封闭的，那么易感者人群数量是<math>S(t) = N - I(t)</math>。
作为一种特殊情况，通过假设<math>R=0</math>得到通常的 Logistic函数。这也可以在 SIR 模型中考虑，该模型有<math>R=0</math>，即没有康复者。这就是SI模型。微分方程系统使用<math>S=N-I</math>，因此可以简化为:
作为一种特殊情况，通过假设<math>R=0</math>得到通常的 Logistic函数。这也可以在 SIR 模型中考虑，该模型有<math>R=0</math>，即没有康复者。这就是SI模型。微分方程系统使用<math>S=N-I</math>，因此可以简化为：
\frac{dI}{dt} \propto I\cdot (N-I).
\frac{dI}{dt} \propto I\cdot (N-I).
</math>
</math>
从长远来看，在这种模式下，所有的个体都会被感染。
从长远来看，在这种模式下，所有的个体都会被感染。
===SIRD模型===
===SIRD模型===
[[File:SIRD.svg|thumb|SIRD模型示意图，初始值<math>S(0)=997，I(0)=3, R(0)=0</math>，感染率<math>\beta=0.4</math>，康复率<math>\gamma=0.035</math>，死亡率 <math>\mu=0.005</math>]]
[[File:SIRD.svg|thumb|SIRD模型示意图，初始值<math>S(0)=997，I(0)=3, R(0)=0</math>，感染率<math>\beta=0.4</math>，康复率<math>\gamma=0.035</math>，死亡率 <math>\mu=0.005</math>]]
易感-染病-康复-死亡-模型区分了康复者(特别是指从疾病中存活下来并且现已免疫的个体)和死亡者。该模型使用了下列微分方程组:
易感-染病-康复-死亡-模型区分了康复者(特别是指从疾病中存活下来并且现已免疫的个体)和死亡者。该模型使用了下列微分方程组：
:<math>
:<math>
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===MSIR模型===
===MSIR模型===
对于包括麻疹在内的许多传染病，婴儿出生时并不易感染，由于母体抗体的保护(通过胎盘和初乳传播) ，婴儿在出生后的头几个月对该疾病免疫。这叫做被动免疫。这个额外的细节可以通过在模型的开始加入一个M类型(用于母系免疫)来显示。
对于包括麻疹在内的许多传染病，婴儿出生时并不易感染，由于母体抗体的保护(通过胎盘和初乳传播) ，婴儿在出生后的头几个月对该疾病免疫。这叫做被动免疫。这个额外的细节可以通过在模型的开始加入一个M类型(用于母系免疫)来显示。
[[File:MSIR.PNG|800px|center|仓室模型]]仓室模型为了从数学上表示这一点，增加了一个额外的分类，M(t)。这导致了下列微分方程:
[[File:MSIR.PNG|800px|center|仓室模型]]仓室模型为了从数学上表示这一点，增加了一个额外的分类，M(t)。这导致了下列微分方程:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
===病原携带状态===
===病原携带状态===
[[File:SIR with carrier model.png|对维基马累之前形象的一个简单修改，使单词“携带者”清晰可见。]]
===SEIR模型===
===SEIR模型===
对于许多传染病，有一段很长的疾病潜伏期，在此期间个人已经被感染，但他们自己还没有感病。在此期间，这个人是属于类别E(暴露者类型)。
对于许多传染病，有一段很长的疾病潜伏期，在此期间个人已经被感染，但他们自己还没有感病。在此期间，这个人是属于类别E(暴露者类型)。
假设疾病潜伏期是一个随机变量，这个随机变量服从一个带有参数<math>''a''</math>的指数分布。（疾病平均潜伏期是<math>a^{-1}</math>），并且假设存在出生率<math>\Lambda</math>等于死亡率<math>\mu</math>的生命动力学，我们有这样的模型:
假设疾病潜伏期是一个随机变量，这个随机变量服从一个带有参数<math>''a''</math>的指数分布。（疾病平均潜伏期是<math>a^{-1}</math>），并且假设存在出生率<math>\Lambda</math>等于死亡率<math>\mu</math>的生命动力学，我们有这样的模型：
对于这种模式，'''<font color="#ff8000">基本再生数basic reproduction number</font>'''是:
对于这种模式，'''<font color="#ff8000">基本再生数basic reproduction number</font>'''是：
类似于 SIR 模型，在这种情况下，我们有一个无病平衡(N,0,0,0)和一个地方病平衡 EE，可以证明，这独立于生物学意义上的初始条件
类似于 SIR 模型，在这种情况下，我们有一个无病平衡(N,0,0,0)和一个地方病平衡 EE，可以证明，这独立于生物学意义上的初始条件
:<math> \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right) \in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^4 : S \ge 0, E \ge 0, I\ge 0, R\ge 0, S+E+I+R = N \right\} </math>
:<math> \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right) \in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^4 : S \ge 0, E \ge 0, I\ge 0, R\ge 0, S+E+I+R = N \right\} </math>
它认为：
当接触率 < math > beta (t) </math >周期性变化时， DFE 全局吸引性的条件是，以下线性系统具有周期系数:
当接触率 < math > beta (t) </math >周期性变化时， DFE 全局吸引性的条件是，以下线性系统具有周期系数：
是稳定的(它在复平面的单位圆内有它的 Floquet 特征值)。
是稳定的(它在复平面的单位圆内有它的 Floquet 特征值)。
=== SEIS模型 ===
=== SEIS模型 ===
SEIS 模型类似于之前的 SEIR 模型，只是最终不会转化为免疫属性。
SEIS 模型类似于之前的 SEIR 模型，只是最终不会转化为免疫属性。
在这个模型中，感染不会留下任何免疫性，因此染病个体恢复到易感状态，移回 s (t)状态。下列微分方程描述了这一模型:
在这个模型中，感染不会留下任何免疫性，因此染病个体恢复到易感状态，移回 s (t)状态。下列微分方程描述了这一模型：
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
考虑被动免疫和潜伏期的因素情况下的传染病，建立了 MSEIR 模型。
考虑被动免疫和潜伏期的因素情况下的传染病，建立了 MSEIR 模型。
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
MSEIRS 模型与 MSEIR 模型相似，但 r 类型的免疫效果是暂时的，因此当临时免疫结束时，个体将恢复其易感性。
MSEIRS 模型与 MSEIR 模型相似，但 r 类型的免疫效果是暂时的，因此当临时免疫结束时，个体将恢复其易感性。
:::<math>{\color{blue}{\mathcal{M} \to \mathcal{S} \to \mathcal{E} \to \mathcal{I} \to \mathcal{R} \to \mathcal{S}}}</math>
:::<math>{\color{blue}{\mathcal{M} \to \mathcal{S} \to \mathcal{E} \to \mathcal{I} \to \mathcal{R} \to \mathcal{S}}}</math>
此外，有些疾病是季节性的，例如普通感冒病毒，这些病毒在冬季更为普遍。儿童疾病，如麻疹、腮腺炎和风疹，与上学日期有很强的相关性，因此在学校假期内患这种疾病的可能性大大降低。因此，对于许多种类的疾病，人们应该考虑周期性（“季节性”）变化接触率的感染力
此外，有些疾病是季节性的，例如普通感冒病毒，这些病毒在冬季更为普遍。儿童疾病，如麻疹、腮腺炎和风疹，与上学日期有很强的相关性，因此在学校假期内患这种疾病的可能性大大降低。因此，对于许多种类的疾病，人们应该考虑周期性（“季节性”）变化接触率的感染力
因此，我们的模型变成了
因此，我们的模型变成了
（康复的动力学很容易从<math>R=N-S-I</math>得出），也就是具有周期变化参数的非线性微分方程组。众所周知，这类动力系统可能会出现非常有趣和复杂的非线性参数共振现象。显然，如果：
这就可以解释某些传染病的每年(常见为两年)流行病爆发，是由于接触率振荡周期和地方病平衡点附近阻尼振荡的伪周期之间的相互作用。值得注意的是，在某些情况下，这种行为也可能是准周期的，甚至是混沌的。
这就可以解释某些传染病的每年(常见为两年)流行病爆发，是由于接触率振荡周期和地方病平衡点附近阻尼振荡的伪周期之间的相互作用。值得注意的是，在某些情况下，这种行为也可能是准周期的，甚至是混沌的。
==疫苗接种模型==
==疫苗接种模型==
当出现传染病时，主要任务之一是通过预防措施消除传染病，或者如果可能的话，通过建立大规模疫苗接种计划消除传染病。假设一种新生儿疫苗(通过疫苗给予终身免疫力)接种率为 <math>P \in (0,1)</math>的疾病，:
当出现传染病时，主要任务之一是通过预防措施消除传染病，或者如果可能的话，通过建立大规模疫苗接种计划消除传染病。假设一种新生儿疫苗(通过疫苗给予终身免疫力)接种率为 <math>P \in (0,1)</math>的疾病，：
其中<math>V</math> 是指接种疫苗的人群。很快就可以看出:
其中<math>V</math> 是指接种疫苗的人群。很快就可以看出：
:<math> \lim_{t \to +\infty} V(t)= N P,</math>
:<math> \lim_{t \to +\infty} V(t)= N P,</math>
因此，我们需要处理<math>S</math>和<math>I</math>的长期行为，它认为:
因此，我们需要处理<math>S</math>和<math>I</math>的长期行为，它认为：
:<math> R_0 (1-P) \le 1 \Rightarrow \lim_{t \to +\infty} \left(S(t),I(t)\right) = DFE = \left(N \left(1-P\right),0\right) </math>
:<math> R_0 (1-P) > 1 , \quad I(0)> 0 \Rightarrow \lim_{t \to +\infty} \left(S(t),I(t)\right) = EE = \left(\frac{N}{R_0(1-P)},N \left(R_0 (1-P)-1\right)\right). </math>
:<math> R_0 (1-P) > 1 , \quad I(0)> 0 \Rightarrow \lim_{t \to +\infty} \left(S(t),I(t)\right) = EE = \left(\frac{N}{R_0(1-P)},N \left(R_0 (1-P)-1\right)\right). </math>
也就是说，如果
也就是说，如果
:<math> P < P^{*}= 1-\frac{1}{R_0} </math>
:<math> P < P^{*}= 1-\frac{1}{R_0} </math>
现代社会正面临着“理性”豁免的挑战，即家庭由于对感染风险的感知和对疫苗损害风险的“理性”比较，从而决定不给儿童接种疫苗。为了评估这种行为是否真的是理性的，也就是说，它是否同样能够根除疾病，人们可以简单地假定疫苗接种率是染病人群数量的递增函数：
:<math> P=P(I), \quad P'(I)>0.</math>
:<math> P=P(I), \quad P'(I)>0.</math>
在这种情况下，传染病根除的条件是：
:<math> P(0) \ge P^{*},</math>
:<math> P(0) \ge P^{*},</math>
如果以接种率<math>ρ</math>为非新生儿接种疫苗，易感者和接种者的方程必须修改如下:
如果以接种率<math>ρ</math>为非新生儿接种疫苗，易感者和接种者的方程必须修改如下：
</math>
</math>
推导出以下的根除条件：
===脉冲疫苗接种策略===
===脉冲疫苗接种策略===
这一策略在一段时间内对易感人群中特定年龄群（如儿童或老年人）反复接种疫苗。利用这一策略，可立即消除易感人群，从而有可能从整个人群中消除传染病（如麻疹）。每<math>T</math>个时间单位，在相对较短的时间内（相对于疾病的动态），对一定比例<math> p </math>的易感受试者进行接种。这就得出了以下易感者和疫苗接种者的脉冲微分方程：
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
很容易看出，通过设置{{math|1=''I'' = 0}}，可以通过以下方式获得易感个体的动态：
很容易看出，通过设置{{math|1=''I'' = 0}}，可以通过以下方式获得易感个体的动态：
:<math> S^*(t) = 1- \frac{p}{1-(1-p)E^{-\mu T}} E^{-\mu MOD(t,T)} </math>
:<math> S^*(t) = 1- \frac{p}{1-(1-p)E^{-\mu T}} E^{-\mu MOD(t,T)} </math>
而根除条件是：
:<math> R_0 \int_0^T S^*(t) \, dt < 1 </math>
:<math> R_0 \int_0^T S^*(t) \, dt < 1 </math>
==年龄的影响：年龄结构模型==
==年龄的影响：年龄结构模型==
年龄对疾病在人群中的传播速度有很大的影响，尤其是接触率。这个比率概括了易感人群和感染人群之间接触的有效性。考虑流行病不同类别人群的年龄<math>s(t,a),i(t,a),r(t,a)</math>(限制在易感者-染病者-康复者的模型中) ，这样:
年龄对疾病在人群中的传播速度有很大的影响，尤其是接触率。这个比率概括了易感人群和感染人群之间接触的有效性。考虑流行病不同类别人群的年龄<math>s(t,a),i(t,a),r(t,a)</math>(限制在易感者-染病者-康复者的模型中) ，这样：
:<math>S(t)=\int_0^{a_M} s(t,a)\,da </math>
:<math>S(t)=\int_0^{a_M} s(t,a)\,da </math>
:<math>I(t)=\int_0^{a_M} i(t,a)\,da</math>
:<math>I(t)=\int_0^{a_M} i(t,a)\,da</math>
（其中<math>a_M \le +\infty</math> 是最大可接受的年龄），它们的动力学并不像人们想象的那样用“简单的”偏微分方程描述，而是用积分-微分方程描述：
其中：
:<math>F(a,t,i(\cdot,\cdot))=\int_0^{a_M} k(a,a_1;t)i(a_1,t) \, da_1 </math>
是感染力，接触核心<math> k(a,a_1;t) </math>取决于年龄之间的相互作用。
是感染力，接触核心<math> k(a,a_1;t) </math>取决于年龄之间的相互作用。
新生婴儿的初始条件(即对于<math> a = 0 </math>) ，可以直接用于传染和康复:
新生婴儿的初始条件(即对于<math> a = 0 </math>) ，可以直接用于传染和康复：
:<math>i(t,0)=r(t,0)=0</math>
:<math>i(t,0)=r(t,0)=0</math>
但对于易感新生儿的密度来说，这是非局部的：
此外，现在定义总人口的密度<math>n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)</math> ，得到；
此外，现在定义总人口的密度<math>n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)</math> ，得到:
在三个流行病类别中，最简单的相同生育情况下，为了实现人口均衡，我们需要以下充分必要条件，将生育率<math>\varphi(.)</math>与死亡率<math>\mu(a)</math>联系起来：
在三个流行病类别中，最简单的相同生育情况下，为了实现人口均衡，我们需要以下充分必要条件，将生育率<math>\varphi(.)</math>与死亡率<math>\mu(a)</math>联系起来:
人口均衡是
人口均衡是
能够自动保证无疾病时解的存在：
== 分区传染病模型中的其他考虑事项==
== 分区传染病模型中的其他考虑事项==
=== 垂直传染 ===
=== 垂直传染 ===
=== 其他 ===
=== 其他 ===
在建立流行病模型时可能需要考虑的其他事件包括以下事项：
==参见==
==参见==
*[[Mathematical modelling in epidemiology]]
*[[Mathematical modelling in epidemiology]]
==参考文献==
==参考文献==
==深入阅读==
==进一步阅读==
*{{cite book |last1=May |first1=Robert M. |last2=Anderson |first2=Roy M.|authorlink=Robert_May,_Baron_May_of_Oxford|title=Infectious diseases of humans: dynamics and control |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |year=1991 |pages= |isbn=0-19-854040-X }}
*{{cite book |last1=May |first1=Robert M. |last2=Anderson |first2=Roy M.|authorlink=Robert_May,_Baron_May_of_Oxford|title=Infectious diseases of humans: dynamics and control |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |year=1991 |pages= |isbn=0-19-854040-X }}
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''
'''本词条内容源自wikipedia及公开资料，遵守 CC3.0协议。'''
[[分类: 流行病学]] [[分类:科学建模]]
[[分类: 流行病学]] [[分类:科学建模]]