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→扩展沙堆模型
This proposes a natural [[renormalization]] for the extended and usual sandpile groups, meaning a mapping of recurrent configurations on a given grid to recurrent configurations on a sub-grid.<font color="#ff8000"> Informaly, this renormalization simply maps configurations appearing at a given time <math>t</math> in the sandpile dynamics induced by some harmonic function <math>H</math> on the larger grid to the corresponding configurations which appear at the same time in the sandpile dynamics induced by the restriction of <math>H</math> to the respective sub-grid.<ref name="Lang2019" /></font>
This proposes a natural [[renormalization]] for the extended and usual sandpile groups, meaning a mapping of recurrent configurations on a given grid to recurrent configurations on a sub-grid.<font color="#ff8000"> Informaly, this renormalization simply maps configurations appearing at a given time <math>t</math> in the sandpile dynamics induced by some harmonic function <math>H</math> on the larger grid to the corresponding configurations which appear at the same time in the sandpile dynamics induced by the restriction of <math>H</math> to the respective sub-grid.<ref name="Lang2019" /></font>
这为扩展的和常见的沙堆群提出了一个自然的[[重整化]]，这意味着给定网格上的循环配置映射到子网格上的循环配置。<font color=“#ff8000”>非正式地，这种重正化简单地将在给定时间<math>t</math>出现在沙堆动力学中的组态映射到相应的组态，这些组态在沙堆动力学中出现在沙堆动力学中，沙堆动力学是由较大网格上的一些调和函数<math>H</math>引起的，而沙堆动力学是由<math>H</math>的限制引起<ref name="Lang2019" /></font>
这为扩展的和常见的沙堆群提出了一个自然的[[重整化]]，这意味着给定网格上的循环配置映射到子网格上的循环配置。<font color=“#ff8000”>非正式地，这种重正化简单地映射了沙堆动力学中给定时间<math>t</math>时的组态，将由较大网格上的一些调和函数<math>H</math>导出的相应组态映射到同时出现在沙堆动力学中，由<math>H</math>对相应子网格的限制引起的相应组态。<ref name="Lang2019" /></font>
由整值调和函数<math>H</math>在时间<math>t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}</math>，沙堆群的同一性<math>I</math>和底函数<math>\lfloor.\rfloor</math>导出的。<ref name="Lang2019" />对于低阶多项式调和函数，沙堆动力学的特征是组成沙堆恒等式的斑块的光滑变换和明显守恒。例如，由<math>H=xy</math> 诱导的谐波动力学类似于动画中可视化的主对角线上恒等式的“平滑拉伸”。进一步推测了由相同的谐函数在不同尺寸的正方形网格上引起的动力学构型的弱收敛，这意味着可能存在缩放极限。<ref name="Lang2019" />这为扩展的和普通的沙堆组提出了一个自然的[[重归一化]]，这意味着在给定网格上的重复构型映射到子网格上的重复构型。非正式地，重归一化简单地映射了沙堆动力学中给定时间<math>t</math>时的构型，动力学由大型网格上的谐波函数<math>H</math>导出到相应的构型，这种构型在<math>H</math>限制到各自子网格的沙堆动力学中时同时出现。<ref name="Lang2019" />
由整值调和函数<math>H</math>在时间<math>t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}</math>，沙堆群的同一性<math>I</math>和底函数<math>\lfloor.\rfloor</math>导出的。<ref name="Lang2019" />对于低阶多项式调和函数，沙堆动力学的特征是组成沙堆恒等式的斑块的光滑变换和明显守恒。例如，由<math>H=xy</math> 诱导的谐波动力学类似于动画中可视化的主对角线上恒等式的“平滑拉伸”。进一步推测了由相同的谐函数在不同尺寸的正方形网格上引起的动力学构型的弱收敛，这意味着可能存在缩放极限。<ref name="Lang2019" />这为扩展的和普通的沙堆组提出了一个自然的[[重归一化]]，这意味着在给定网格上的重复构型映射到子网格上的重复构型。非正式地，重归一化简单地映射了沙堆动力学中给定时间<math>t</math>时的构型，动力学由大型网格上的谐波函数<math>H</math>导出到相应的构型，这种构型在<math>H</math>限制到各自子网格的沙堆动力学中时同时出现。<ref name="Lang2019" />