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参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。

参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。

== Dynamical system ==

==[[动力系统]]==

Given a [[real global dynamical system]] ('''R''', ''X'', Φ) with ''X'' the [[Phase space (dynamical system)|phase space]] and Φ the [[evolution function]],

Given a [[real global dynamical system]] ('''R''', ''X'', Φ) with ''X'' the [[Phase space (dynamical system)|phase space]] and Φ the [[evolution function]],

给定一个实整体动力系统(R，X，Φ) ，其中X为相空间，Φ为演化函数，

给定一个连续时间的动力系统<math>(R，X，Φ) </math>，其中<math>X</math>为相空间，<math>Φ</math>为状态转移函数，

a point ''x'' in ''X'' is called ''periodic'' with ''period'' ''t'' if there exists a ''t'' >&thinsp;0 so that

a point ''x'' in ''X'' is called ''periodic'' with ''period'' ''t'' if there exists a ''t'' >&thinsp;0 so that

如果存在 t > & thinsp; 0，则X中的点x称为周期为t的周期。因此

如果存在 <math>t >=0</math>，则<math>X</math>中的点<math>x</math>称为周期为<math>t</math>的周期。因此

<math>\Phi(t, x) = x\,</math>

<math>\Phi(t, x) = x\,</math>

The smallest positive ''t'' with this property is called ''prime period'' of the point ''x''.

The smallest positive ''t'' with this property is called ''prime period'' of the point ''x''.

=== Properties ===

=== 性质 ===

* Given a periodic point ''x'' with period ''p'', then <math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math> for all ''t'' in '''R'''

* Given a periodic point ''x'' with period ''p'', then <math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math> for all ''t'' in '''R'''

* 给定一个周期为“p”的周期点“x”，则对于“R”中所有“t”的Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)

* 给定一个周期为“p”的周期点“x”，则对于<math>R</math>中所有<math>x</math>的<math>\Phi(t,x) = \Phi(t+p,x)</math>

* Given a periodic point ''x'' then all points on the [[orbit (dynamics)|orbit]] <math>\gamma_x</math> through ''x'' are periodic with the same prime period.

* Given a periodic point ''x'' then all points on the [[orbit (dynamics)|orbit]] <math>\gamma_x</math> through ''x'' are periodic with the same prime period.

* 给定周期点“x”，则在轨道 <math>\gamma_x</math>上的所有点都具有相同的素数周期

* 给定周期点“x”，则在轨道 <math>\gamma_x</math>上的所有点都具有相同的素数周期

==See also==

==See also==