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自动机的动力学过程在第<math> i\in\mathbb{N} </math>次迭代时的定义如下:
 
自动机的动力学过程在第<math> i\in\mathbb{N} </math>次迭代时的定义如下:
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#按概率分布(通常服从均匀分布)选择一个随机顶点<math> (x_i,y_i)\in\Gamma </math>。
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# 按概率分布(通常服从均匀分布)选择一个随机顶点<math> (x_i,y_i)\in\Gamma </math>。
#向这个顶点添加一粒沙子,同时让其他顶点的沙粒数保持不变,也就是对于所有的<math>(x,y)\neq(x_i,y_i)</math>,设定<br /><math>z_i(x_i,y_i)=z_{i-1}(x_i,y_i)+1</math> 和<br /><math>z_i(x,y)=z_{i-1}(x,y)</math>。
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# 向这个顶点添加一粒沙子,同时让其他顶点的沙粒数保持不变,也就是对于所有的<math>(x,y)\neq(x_i,y_i)</math>,设定<br /><math>z_i(x_i,y_i)=z_{i-1}(x_i,y_i)+1</math> 和<br /><math>z_i(x,y)=z_{i-1}(x,y)</math>。
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#如果所有的顶点都是稳定的,即如果对于<math>(x,y)\in\Gamma</math>,<math>z_i(x,y)<4</math>,那么构型<math>z_i</math>被认为是稳定的。在这种情况下,重新开始步骤1进行下一轮迭代。
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# 如果所有的顶点都是稳定的,即如果对于<math>(x,y)\in\Gamma</math>,<math>z_i(x,y)<4</math>,那么构型<math>z_i</math>被认为是稳定的。在这种情况下,重新开始步骤1进行下一轮迭代。
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#如果至少有一个顶点是不稳定的,即对于一些<math>(x_u,y_u)\in\Gamma</math>,<math>z_i(x_u,y_u)\geq 4</math>,<math>z_i</math>被认为是不稳定的。在这种情况下,对于每个不稳定差点<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>。将该顶点的沙粒数减少4个,并将其每个(最多4个)直接邻居的沙粒数各增加1个。即:<br /><math>z_i(x_u,y_u) \rightarrow z_i(x_u,y_u) - 4,</math>, 如果 <math>( x_u \pm 1, y_u\pm 1)\in\Gamma</math>.<br />,<br /><math>z_i( x_u \pm 1, y_u \pm 1) \rightarrow z_i( x_u \pm 1, y_u\pm 1) + 1</math>。如果一个在栅栏边界的顶点产生崩塌,这将导致沙粒丢失到系统之外(若这个顶点在栅栏的顶角,则损失两颗沙粒;若在栅栏的边上,则损失一颗。
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# 如果至少有一个顶点是不稳定的,即对于一些<math>(x_u,y_u)\in\Gamma</math>,<math>z_i(x_u,y_u)\geq 4</math>,<math>z_i</math>被认为是不稳定的。在这种情况下,对于每个不稳定差点<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>。将该顶点的沙粒数减少4个,并将其每个(最多4个)直接邻居的沙粒数各增加1个。即:<br /><math>z_i(x_u,y_u) \rightarrow z_i(x_u,y_u) - 4,</math>, 如果 <math>( x_u \pm 1, y_u\pm 1)\in\Gamma</math>.<br />,<br /><math>z_i( x_u \pm 1, y_u \pm 1) \rightarrow z_i( x_u \pm 1, y_u\pm 1) + 1</math>。如果一个在栅栏边界的顶点产生崩塌,这将导致沙粒丢失到系统之外(若这个顶点在栅栏的顶角,则损失两颗沙粒;若在栅栏的边上,则损失一颗。
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#由于沙粒的重新分布,一个顶点的崩塌可能会使其他顶点变得不稳定。就重复上述步骤四的崩塌的过程,直到<math>z_i</math>状态下的所有顶点最终稳定下来,然后执行步骤1继续下一轮迭代。
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# 由于沙粒的重新分布,一个顶点的崩塌可能会使其他顶点变得不稳定。就重复上述步骤四的崩塌的过程,直到<math>z_i</math>状态下的所有顶点最终稳定下来,然后执行步骤1继续下一轮迭代。