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在<math>*</math>运算下，递归构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群。对于 <math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和循环）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于循环构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>

在<math>*</math>运算下，常返构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群，即<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括吸收顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和常返）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于常返构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>

由循环构型形成的群，以及与之同构的群<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，通常称为'''<font color="#ff8000"> 沙堆群Sandpile group</font>'''。相同群的其它常用名称是“临界群”、“Jacobian群”或（不常见的）“Picard群”。然而，要注意的是，有些作者只把循环构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直接产物，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为'''<font color="#ff8000"> 碎片点火或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game</font>'''。

然而，要注意的是，有些作者只把常返构型形成的组称为沙堆组，而为由<math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>（或相关的同构定义）定义的同构群保留Jacobian群或临界群的称呼。最后，一些作者使用Picard群来指代沙堆群和<math>\mathbb{Z}</math>的直积，后者出现在与沙堆模型密切相关的[[元胞自动机]]中，被称为'''<font color="#ff8000"> 开除碎片或美元博弈游戏Chip firing or Dollar game</font>'''。

 

给定上述同构，沙堆群的阶是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树的个数。

给定上述同构，沙堆群的阶是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树的个数。

==[[自组织临界性]]==

==[[自组织临界性]]==