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<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 |s2cid=119626417 |hdl-access=free }}</ref>

<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 |s2cid=119626417 |hdl-access=free }}</ref>

== 归纳与相关模型==

== 推广与相关模型==

===有向图上的沙堆模型===

 

===无限网格上的沙堆模型===

[[文件:800px-Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上，然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置，绿色表示1颗，紫色表示2颗，金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]

[[文件:800px-Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上，然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置，绿色表示1颗，紫色表示2颗，金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]

 

在（无限）方格上有一个相当流行的模型，其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下：

在一个（无限）方格上定义的常见的模型，其节点<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>，具体定义如下：

从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负构型开始，这意味着

从一个有限的非负构型<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>开始，即有

:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>

:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>