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<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中,他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 |s2cid=119626417 |hdl-access=free }}</ref>
 
<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中,他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 |s2cid=119626417 |hdl-access=free }}</ref>
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== 归纳与相关模型==
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== 推广与相关模型==
===有向图上的沙堆模型===
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===无限网格上的沙堆模型===
    
[[文件:800px-Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上,然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置,绿色表示1颗,紫色表示2颗,金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]
 
[[文件:800px-Sandpile on infinite grid, 3e7 grains.png|thumb|right|upright=1.25|3000万粒沙粒落在无限方形网格的一个位置上,然后按照沙堆模型的规则产生崩塌。白色表示0颗沙粒位置,绿色表示1颗,紫色表示2颗,金色表示3颗。图中框的大小是3967×3967。]]
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沙堆模型可以推广到无限网格中。这种归纳法的一个挑战是,一般来说,不能保证每次雪崩最终都会停止。因此,一些一般化方法只考虑了构型的稳定性,因为这一点是能保证的。
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有一些工作将沙堆模型推广到无限网格上。一般来说,这种推广会遇到一个挑战,就是不能保证每次雪崩最终都会停止。因此,一些推广只考虑了能确保会结束的构型稳定化。
 
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在(无限)方格上有一个相当流行的模型,其位置<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>定义如下:
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在一个(无限)方格上定义的常见的模型,其节点<math>(x,y)\in\mathbb{Z}^2</math>,具体定义如下:
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从\mathbf{z}</math>中有限值<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>的一些非负构型开始,这意味着
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从一个有限的非负构型<math>z(x,y)\in \mathbf{Z}</math>开始,即有
    
:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>
 
:<math>\sum_{x,y}z(x,y)<\infty.</math>