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→一个扩展沙堆模型
为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“一个扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。
为了更好地理解不同有限凸网格<math>\Gamma\subset\mathbb{Z}^2</math>的沙堆群的结构，Lang和Shkolnikov在2019年提出了“一个扩展沙堆模型”。<ref name=Lang2019>{{Cite journal|last1=Lang|first1=Moritz|last2=Shkolnikov|first2=Mikhail|date=2019-02-19|title=Harmonic dynamics of the abelian sandpile|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=116|issue=8|pages=2821–2830|doi=10.1073/pnas.1812015116|pmid=30728300|pmc=6386721|issn=0027-8424}}</ref>扩展沙堆模型的定义与“通常的沙堆模型”几乎完全相同（即原始的Bak–Tang–Wiesenfeld模型<ref name="Bak1987" />），除了网格边界<math>\partial\Gamma</math>的顶点现在允许放置非负实数的沙粒。相比之下，网格内部的顶点仍然只允许放置整数个粒子。崩塌规则保持不变，即假设当沙粒数达到或超过4时，内部顶点和边界顶点都变得不稳定并发生崩塌。
此外，扩展沙堆模型的常返构型形成了一个阿贝尔群，称为“扩展沙堆群”，其中通常的沙堆群是[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同，扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。由于它仅通过在边界上考虑实数沙粒，中间还是只能整数沙粒，因此扩展的沙堆组还具有环结构，其维度为<math>\partial\Gamma</math>，而体积通常由沙堆群的阶确定<ref name="Lang2019" />。
此外，扩展沙堆模型的常返构型形成了一个阿贝尔群，称为“扩展沙堆群”，其中通常的沙堆群是[[离散子群]]。与通常的沙堆群不同，扩展沙堆群是一个连续的[[李群]]。由于它仅通过在边界上考虑实数沙粒，中间还是只能整数沙粒，因此扩展的沙堆组还具有环结构，其维度为<math>\partial\Gamma</math>，而体积通常由沙堆群的阶确定<ref name="Lang2019" />。
respectively
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:<math>\tilde{D}_H(t)=(I+\lfloor-t\Delta H\rfloor)^\circ</math> （普通沙堆模型）
:<math>\tilde{D}_H(t)=(I+\lfloor-t\Delta H\rfloor)^\circ</math> （普通沙堆模型）
由时间<math>t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}</math>上的整数调和函数<math>H</math>，沙堆群的单位元<math>I</math>和底函数<math>\lfloor.\rfloor</math>确定。<ref name="Lang2019" />对于低阶多项式调和函数，沙堆动力学的特征是平滑变化。收敛到沙堆单位元的组成“鳞片”。例如，由<math>H=xy</math> 确定的谐波动力学集成了单位元沿着主对角线“平滑的拉伸”，可以直观地从动画中看出来。进一步推测了由相同的谐函数在不同尺寸的方格上引起的动力学构型存在弱收敛，这意味着会有标度极限<ref name="Lang2019" />。这为扩展的和普通的沙堆群提出了一个自然的重归一化，这意味着在给定网格上的常返构型映射到子网格上的常返构型。简略地说，重归一化简单将调和函数<math>H</math>确定的沙堆动力学中给定时间<math>t</math>时刻的构型映射到对应的限制为H的子网上的同一时间的构型。<ref name="Lang2019" />
由时间<math>t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}</math>上的整数调和函数<math>H</math>，沙堆群的单位元<math>I</math>和底函数<math>\lfloor.\rfloor</math>确定。<ref name="Lang2019" />对于低阶多项式调和函数，沙堆动力学的特征是平滑变化。收敛到沙堆单位元的组成“鳞片”。例如，由<math>H=xy</math> 确定的谐波动力学集成了单位元沿着主对角线“平滑的拉伸”，可以直观地从动画中看出来。进一步推测了由相同的谐函数在不同尺寸的方格上引起的动力学构型存在弱收敛，这意味着会有标度极限<ref name="Lang2019" />。这为扩展的和普通的沙堆群提出了一个自然的重归一化，这意味着在给定网格上的常返构型映射到子网格上的常返构型。简略地说，重归一化简单将调和函数<math>H</math>确定的沙堆动力学中给定时间<math>t</math>时刻的构型映射到对应的限制为H的子网上的同一时间的构型。<ref name="Lang2019" />