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→缩放极限（标度极限）
动画显示了在不同的<math>N\times N，N\geq 1</math>网格上的沙堆群一个实例的常返构型，随着<math>N</math>增加的情况。将构型标度变换到同样的物理尺寸。看起来，更多的网格会表现得更加精细，并逐步“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这是因为基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），方格上的沙堆模型在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了常返沙堆构型存在缩放极限<ref name=Pegden2016>{{cite arxiv |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Stability of patterns in the Abelian sandpile.|eprint=1708.09432 | date=2017 | ref=Pegden2017|class=math.AP }}</ref>
动画显示了在不同的<math>N\times N，N\geq 1</math>网格上的沙堆群一个实例的常返构型，随着<math>N</math>增加的情况。将构型标度变换到同样的物理尺寸。看起来，更多的网格会表现得更加精细，并逐步“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这是因为基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），方格上的沙堆模型在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了常返沙堆构型存在缩放极限<ref name=Pegden2016>{{cite arxiv |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Stability of patterns in the Abelian sandpile.|eprint=1708.09432 | date=2017 | ref=Pegden2017|class=math.AP }}</ref>
<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 |s2cid=13027232 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 }}</ref>
<ref name=Pegden2013>{{cite journal |last1=Pegden |first1=Wesley |last2=Smart |first2=Charles |title=Convergence of the Abelian sandpile |journal=Duke Mathematical Journal |date=2013 |volume=162 |issue=4 |pages=627–642 |doi=10.1215/00127094-2079677 |ref=Pegden2013|arxiv=1105.0111 }}</ref>。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。<ref name=Levine2016>{{cite journal |last1=Levine |first1=Lionel |last2=Pegden |first2=Wesley |title=Apollonian structure in the Abelian sandpile |journal=Geometric and Functional Analysis |date=2016 |volume=26 |issue=1 |pages=306–336 |doi=10.1007/s00039-016-0358-7 |ref=Levine2016|hdl=1721.1/106972 }}</ref>
== 推广与相关模型==
== 推广与相关模型==