更改

然而，这只有在参数空间的区域才可能{{nowrap|''a'' < 0}}。随着''a''的增加，磁滞回线变得越来越小，直到大于{{nowrap|''a'' {{=}} 0}}磁滞回线完全消失(尖点突变) ，只有一个稳定的解。

然而，这只有在参数空间的区域才可能{{nowrap|''a'' < 0}}。随着''a''的增加，磁滞回线变得越来越小，直到大于{{nowrap|''a'' {{=}} 0}}磁滞回线完全消失(尖点突变) ，只有一个稳定的解。

我们也可以考虑，如果一个人保持''b''常数，改变''a''会发生什么。在对称情形{{nowrap|''b'' {{=}} 0}}中，我们观察到''a''被还原时的[[叉式分岔]]，当物理系统通过尖点(0,0)时，一个稳定解突然分裂成两个稳定解和一个不稳定解{{nowrap|''a'' < 0}}(自发对称性破缺的一个例子)。离开尖点，所遵循的物理解没有突然的变化: 当通过折叠分叉曲线时，所发生的是一个备用的第二解变得可用。

我们也可以考虑，如果一个人保持''b''常数，改变''a''会发生什么。在对称情形{{nowrap|''b'' {{=}} 0}}中，我们观察到''a''被还原时的叉式分岔，当物理系统通过尖点(0,0)时，一个稳定解突然分裂成两个稳定解和一个不稳定解{{nowrap|''a'' < 0}}(自发对称性破缺的一个例子)。离开尖点，所遵循的物理解没有突然的变化: 当通过折叠分叉曲线时，所发生的是一个备用的第二解变得可用。

一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>[[E.C. Zeeman]], [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''[[Scientific American]]'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref>  建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' &gt; 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' &lt; 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到’折叠’点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。

一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>E.C. Zeeman, [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''Scientific American'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref>  建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' &gt; 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' &lt; 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到’折叠’点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。

一个简单的机械系统，“塞曼灾难机器” ，很好地说明了尖点灾难。在这种装置中，弹簧末端位置的平滑变化可以引起附加轮转动位置的突然变化。<ref>Cross, Daniel J., [http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/zcm/ Zeeman's Catastrophe Machine in Flash] {{webarchive|url=https://archive.is/20121211093251/http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/zcm/ |date=2012-12-11 }}</ref>

一个简单的机械系统，“塞曼灾难机器” ，很好地说明了尖点灾难。在这种装置中，弹簧末端位置的平滑变化可以引起附加轮转动位置的突然变化。<ref>Cross, Daniel J., [http://lagrange.physics.drexel.edu/flash/zcm/ Zeeman's Catastrophe Machine in Flash]</ref>

并联冗余[[复杂系统]]的灾变失效可以根据局部应力与外部应力之间的关系进行评估。[[结构断裂力学]]模型与尖点突变行为相似。该模型预测了复杂系统的储备能力。

并联冗余[[复杂系统]]的灾变失效可以根据局部应力与外部应力之间的关系进行评估。结构断裂力学模型与尖点突变行为相似。该模型预测了复杂系统的储备能力。

其他应用还包括化学和生物系统<ref>{{cite journal|last=Xu|first=F|title=Application of catastrophe theory to the ∆G^≠ to -∆G relationship in electron transfer reactions.| journal=Zeitschrift für Physikalische Chemie |series=Neue Folge | volume=166 | pages=79–91 | date=1990|doi=10.1524/zpch.1990.166.Part_1.079}}</ref> 中经常遇到的外层电子转移和房地产价格模型。<ref>{{cite journal|last=Bełej|first=Mirosław|author2=Kulesza, Sławomir|title=Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions|journal=Folia Oeconomica Stetinensia|volume=11|issue=1|pages=61–72|doi=10.2478/v10031-012-0008-7|year=2012|doi-access=free}}</ref>

其他应用还包括化学和生物系统<ref>{{cite journal|last=Xu|first=F|title=Application of catastrophe theory to the ∆G^≠ to -∆G relationship in electron transfer reactions.| journal=Zeitschrift für Physikalische Chemie |series=Neue Folge | volume=166 | pages=79–91 | date=1990|doi=10.1524/zpch.1990.166.Part_1.079}}</ref> 中经常遇到的外层电子转移和房地产价格模型。<ref>{{cite journal|last=Bełej|first=Mirosław|author2=Kulesza, Sławomir|title=Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions|journal=Folia Oeconomica Stetinensia|volume=11|issue=1|pages=61–72|doi=10.2478/v10031-012-0008-7|year=2012|doi-access=free}}</ref>

折叠分岔和尖点几何是迄今为止突变理论最重要的实际结果。它们是在物理学、工程学和数学模型中反复出现的模式。

折叠分岔和尖点几何是迄今为止突变理论最重要的实际结果。它们是在物理学、工程学和数学模型中反复出现的模式。

它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测[[黑洞]]和宇宙[[暗物质]]的方法之一---- 通过[[引力透镜]]效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>

它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测黑洞和宇宙暗物质的方法之一---- 通过引力透镜效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>

剩下的简单的灾难几何图形在比较中非常专业，在这里展示只是为了好奇的价值。

剩下的简单的灾难几何图形在比较中非常专业，在这里展示只是为了好奇的价值。

==阿诺德记数法==

==阿诺德记数法==

[[弗拉迪米尔 · 阿诺德]]将这些灾难归为 ADE 类，因为它们与[[简单的李群]]有很深的联系。

弗拉迪米尔 · 阿诺德将这些灾难归为 ADE 类，因为它们与简单的李群有很深的联系。

*''A''₀ - a non-singular point: <math>V = x</math>.

*''A''₀ - a non-singular point: <math>V = x</math>.

== 参见 ==

== 参见 ==

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* [[Broken symmetry]]

* Broken symmetry

* [[Butterfly effect]]

* [[Butterfly effect]]

* [[Chaos theory]]

* Chaos theory

* [[Domino effect]]

* Domino effect

* [[Inflection point]]

* Inflection point

* [[Morphology (biology)|Morphology]]

* Morphology (biology)|Morphology

* [[Phase transition]]

* Phase transition

* [[Punctuated equilibrium]]

* Punctuated equilibrium

* [[Spontaneous symmetry breaking]]

* Spontaneous symmetry breaking

* [[Snowball effect]]

* Snowball effect

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==参考书目==

==参考书目==

*[[Vladimir Arnold|Arnold, Vladimir Igorevich]]. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

*Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

*[[Valentin Afraimovich|V. S. Afrajmovich]], V. I. Arnold, et al., Bifurcation Theory And Catastrophe Theory, {{ISBN|3-540-65379-1}}

*V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, et al., Bifurcation Theory And Catastrophe Theory.

*Bełej,M. Kulesza, S. Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions. Folia Oeconomica Stetinensia. Volume 11, Issue 1, Pages 61–72, ISSN (Online) 1898-0198, ISSN (Print) 1730-4237, {{doi|10.2478/v10031-012-0008-7}}, 2013

*Bełej,M. Kulesza, S. Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions. Folia Oeconomica Stetinensia. Volume 11, Issue 1, Pages 61–72, ISSN (Online) 1898-0198, ISSN (Print) 1730-4237, {{doi|10.2478/v10031-012-0008-7}}, 2013

*Castrigiano, Domenico P. L. and Hayes, Sandra A. Catastrophe Theory, 2nd ed. Boulder: Westview, 2004. {{ISBN|0-8133-4126-4}}

*Castrigiano, Domenico P. L. and Hayes, Sandra A. Catastrophe Theory, 2nd ed. Boulder: Westview, 2004.  

 

 

 

*Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.

*Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.

 

*Petters, Arlie O., Levine, Harold and Wambsganss, Joachim. Singularity Theory and Gravitational Lensing. Boston: Birkhäuser, 2001.  

 

*Postle, Denis. Catastrophe Theory – Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks, 1980.  

 

*Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998.  

*Petters, Arlie O., Levine, Harold and Wambsganss, Joachim. Singularity Theory and Gravitational Lensing. Boston: Birkhäuser, 2001. {{ISBN|0-8176-3668-4}}

 

 

 

*Postle, Denis. Catastrophe Theory – Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks, 1980. {{ISBN|0-00-635559-5}}

 

 

 

*[[Tim Poston|Poston, Tim]] and [[Ian Stewart (mathematician)|Stewart, Ian]]. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. {{ISBN|0-486-69271-X}}.

 

 

 

*Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.

*Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.

*Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.

*Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.

 

*Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.

 

 

*[[René Thom|Thom, René]]. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. {{ISBN|0-201-09419-3}}.

 

 

 

*Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.

*Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.

 

*Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.

 

*Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972&ndash;1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

 

*Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978. {{ISBN|0-525-07812-6}}.

 

 

 

*[[Erik Christopher Zeeman|Zeeman, E.C.]] Catastrophe Theory-Selected Papers 1972&ndash;1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

== 外部链接 ==

== 外部链接 ==

 

*[http://www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon/catastrophe.html CompLexicon: Catastrophe Theory]

 

 

* [http://www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon/catastrophe.html CompLexicon: Catastrophe Theory]

 

 

 

* [https://web.archive.org/web/20051128035658/http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/ct/eng_index.html Catastrophe teacher]

* [https://web.archive.org/web/20051128035658/http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/ct/eng_index.html Catastrophe teacher]

*[https://www.compadre.org/osp/items/detail.cfm?ID=11996 Java simulation of Zeeman's catastrophe machine]

*[https://www.compadre.org/osp/items/detail.cfm?ID=11996 Java simulation of Zeeman's catastrophe machine]

类别: 分岔理论

类别: 分岔理论

类别: 奇点理论

类别: 奇点理论

范畴: 系统论

范畴: 系统论

范畴: 混沌理论

范畴: 混沌理论

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